用动态规划方法找字符串中最长回文子串

LeetCode中有这么一道题：

给定一个字符串 s，找到 s 中最长的回文子串。你可以假设 s 的最大长度为1000。

示例 1：

输入: "babad"

输出: "bab"

注意: "aba"也是一个有效答案。

示例 2：

输入: "cbbd"

输出: "bb"

回文串的定义我就不啰嗦了。对于这道题，我的第一反应是用动态规划方法解。

假设字符串s的长度为length，建立一个length*length的矩阵dp。

dp[i][j]表示“以s[i]开始s[j]结尾的回文串的长度。如果这个字符串不是回文串，让dp[i][j]=0”。显然，j>=i，只需往dp填j>=i的部分即可。

dp[i][j]的递推公式可以这么表述：

（1）首先对dp的对角线元素初始化为1，也就是当i==j时，dp[i][j]=1。

这很显然，每个单独的字符其实就是个长度为1的回文串。

（2）当j-i==1：

若s[i]==s[j]，则dp[i][j]=2；否则dp[i][j]=0。

解释：当j-i==1时，若s[i]==s[j]，则s[i]和s[j]可以组成一个长度为2的回文串。若s[i]！=s[j]，显然他们不可能组成回文串，dp[i][j]=0。

（3）当j-i>=2：

若s[i]==s[j]：若dp[i+1][j-1]>0，则dp[i][j]= dp[i + 1][j - 1] + 2;否则dp[i][j]= 0;

若s[i]！=s[j]：dp[i][j]=0。

解释：如果s[i]==s[j]，表明这个子串有可能是回文串。当去头去尾后它是回文串时，就可以在去头去尾的那个回文串长度基础上+2，得到它的长度。如果去头去尾后不是回文串，那这个子串一定不是回文串，回文串长度只能是0。

若s[i]！=s[j]，显然他们不可能组成回文串，dp[i][j]=0。

只需找到dp[i][j]的最大元素和它对应的i和j就可以得到结果“s中最长回文子串”。

另外还有一个要注意的点：因为需要访问dp[i+1][j-1]，因此i是从大到小的，j是从小到大的。j从0到size-1，i从j-1到0。

贴上我的C++代码：

class Solution {
public:
    string longestPalindrome(string s) {
	//寻找最长回文子串
	int size = s.size();
	if (size <= 1) return s;
	//用动态规划方法
	//dp为size*size大小的矩阵，dp[i][j]表示以s[i]开头，s[j]结尾的回文串长度（如果不是回文串，则为0）
	vector> dp(size);
	for (int i = 0; i= 0; i--) {
			if (s[i] == s[j]) {
				if(j-i==1) dp[i][j] = 2;
				else {
					if (dp[i + 1][j - 1]>0) {
						dp[i][j] = dp[i + 1][j - 1] + 2;
					}
					else dp[i][j] = 0;
				}
			}
			else dp[i][j] = 0;
			if (dp[i][j]>max) {
				max = dp[i][j]; start = i;
			}
		}
	}
	return s.substr(start, max);
    }
};

时间复杂度和空间复杂度都为O(n^2)，n为字符串长度。

https://www.cnblogs.com/love-yh/p/7072161.html 介绍了Manacher'sAlgorithm——马拉车算法，可以在O(n)时间复杂度得到最长回文串。