群、环、域基础与例子

0 群

群的定义（群的公理）：

        我们将满足以下公理的集合G称为群：
                0.关于运算*是闭集。（运算*为广义运算）
                1.对于任意的元，都满足结合律。
                2.存在单位元。
                3.对于任意的元，都有与其对应的逆元。

        如果在群的基础上，再满足交换律（a运算b = b 运算 a），我们称这种群叫做阿贝尔群。

        半群：满足条件0和条件1的集合称为半群。

        群的例子：整数群
                0.对于任何两个整数a和b，它们的和也是整数。满足条件0，关于运算+是闭集；
                1.对于任何整数a,b和c,(a + b) + c=a + (b + c)。满足条件1，关于运算+满足结合律；
                2.对于任何整数a，0 + a = a + 0 = a；
                3.对于任何整数a,存在另一个整数b使得a + b = b + a = 0。整数b叫做整数a的逆元，记为-a。

1 环

环的定义（环的公理）：

        我们将满足以下公理的集合G称为环：
                0.关于运算+（广义运算）：
                       0.0.闭集
                       0.1.存在单位元
                       0.2.所有元素都满足结合律
                       0.3.所有元素都满足交换律
                       0.4.所有元素都存在与其对应的逆元
                 1.关于运算×（广义运算，区别于前面的运算+）：
                       1.0.闭集
                       1.1.存在单位元
                       1.2.所有元素都满足结合律
                       1.3.所有元素都满足交换律
                  2.关于运算+和×（前面的两种运算）：
                       2.0.所有元素都满足分配律

         在前面群和半群的定义基础上，环还可以如下定义：
                  0.关于运算+（广义运算），（G，+）为阿贝尔群（交换群）；
                  1.关于运算×（广义运算，区别于前面的运算+），（G，×）为半群；
                  2.×对+适用分配律：a(b + c) = ab + ac.

         环的例子：整数环
         集合Z（整数集）对于运算+（数学加法）是一个阿贝尔群；对于运算×（数学乘法）是一个半群；所以集合Z是一个环（整数环）

2 域

域的定义（域的公理）：

       我们将满足以下公理的集合G称为域：
                0.关于运算+（广义运算）：
                       0.0.闭集
                       0.1.存在单位元
                       0.2.所有元素都满足结合律
                       0.3.所有元素都满足交换律
                       0.4.所有元素都存在与其对应的逆元
                 1.关于运算×（广义运算，区别于前面的运算+）：
                       1.0.闭集
                       1.1.存在单位元
                       1.2.所有元素都满足结合律
                       1.3.所有元素都满足交换律
                       1.4.除了0以外的所有元素都存在与其对应的逆元
                  2.关于运算+和×（前面的两种运算）：
                       2.0.所有元素都满足分配律

         在前面的定义基础上，域还可以如下定义：
                  0.关于运算+（广义运算），（G，+）为阿贝尔群（交换群）；
                  1.关于运算×（广义运算，区别于前面的运算+），（G-{0}，×）为阿贝尔群；
                  2.×对+适用分配律：a(b + c) = ab + ac.

         域的例子：有理数域
         集合Q（有理数集）对于运算+（数学加法）是一个阿贝尔群；对于运算×（数学乘法）除开0以外是一个阿贝尔群；所以集合Q是一个域（有理数域）

有理数集合，实数集合，复数集合，这些都是无线域，在信息安全中没有什么实际意义

在信息安全中比较有用的是有限域，主要有素域、二进制域等等，之后会继续更新