机器学习常用loss：L1 loss、L2 loss、smothL1 loss、huber loss

常用loss：

L1：

• 公式：$$L1=\sum _{i=1}^n\left|y_i-f\left(x_i\right)\right|$$
• 导数：$$\frac{\mathrm{d}{L}_1(x)}{\mathrm{d}x}=\{\begin{array}{ll}1& \text{ if }x\ge 0\\ -1& \text{ otherwise }\end{array}$$

L2：

• 公式：$$L2=\sum _{i=1}^n{\left(y_i-f\left(x_i\right)\right)}^2$$
• 导数：$$\frac{\mathrm{d}{L}_2(x)}{\mathrm{d}x}=2x$$
• 特性：对离群点比较敏感，需要自习调整学习率，防止出现梯度爆炸的情况(因为两端值很大)；

smooth L1：

• 公式：$${\mathrm{smooth}}_{L_1}(x)=\{\begin{array}{ll}0.5x^2& \text{ if }|x|<1\\ |x|-0.5& \text{ otherwise }\end{array}$$
• 导数：$$\frac{\mathrm{d}{\mathrm{smooth}}_{L_1}}{\mathrm{d}x}=\{\begin{array}{ll}x& \text{ if }|x|<1\\ \pm 1& \text{ otherwise }\end{array}$$

Huber loss：

• 公式：$$L_{\delta }(y,f(x))=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}(y-f(x){)}^2,& \text{ for }|y-f(x)|\le \delta \\ \delta \cdot \left(|y-f(x)|-\frac{1}{2}\delta \right),& \text{ otherwise }\end{array}$$
• 优点是能增强平方误差损失函数(MSE)对离群点的鲁棒性，用于回归问题。δ是一个可以自己设置的参数。
  当预测偏差小于 δ 时，它采用平方误差,
  当预测偏差大于 δ 时，采用的线性误差。
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  如上图绿色部分为huber loss。
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说明

L1loss在零点不平滑，学习慢；
L2loss学习快，因为是平方增长，但是当预测值太大的时候，会在loss中占据主导位置(如真实值为1，预测多次，有一次预测值为100，其余预测为2)；
Smooth L1 Loss 相比L1修改零点不平滑问题，而且在x较大的时候不像L2对异常值敏感，是一个缓慢变化的loss；
Huber loss增强L2对离群点的鲁棒性，因为偏差大的时候变成线性增长；

上图绿色部分为huber loss，紫色部分为L2loss；

上图为smooth L1 loss和L2 loss的导数对比，在两端smooth L1 导数恒定为1，而L2 loss会一直上升；

另外L1和L2范数常用于正则化项：

L1正则会制造稀疏的特征，大部分无用特征的权重会被置为0，有特征选择作用；
L2正则会让特征的权重不过大，使得特征的权重比较平均。

上图为1范数和2范数的图像，可以看出L1正则倾向于选择坐标轴上的参数（即出现0为稀疏解），L2正则倾向于选择均匀参数；