台大-林轩田老师-机器学习基石学习笔记13

上节讲的是非线性分类模型，通过线性与非线性空间之间的变换，将非线性模型映转换为线性模型，再进行分类，分析了非线性变换可能会使计算复杂度增加。强调了纬度和负责度之间的关系。这节中，这种模型复杂度增加带来机器学习中一个很常见的问题——过拟合。

什么是过拟合？

机器学习的终极目标就是为了预测，当然预测前我们要对数据进行训练。用原生数据来直接训练的话，有一个问题就是我们设计的分类器在训练集上会得到很好的表现，但在测试集上的表现却变得非常差。造成过拟合(overfitting)的问题。
随着纬度的上升，有限的样本空间会越来越稀疏，训练样本多少需要随着维度指数增长，每个样本越来越不可能符合所有维度(特征)，这使得大部分样本都变成了噪声，训练的时间还会加长。

因此模型出现在训练集上表现良好，但对新数据缺乏泛化能力的现象。
如果训练集可以达到理论上的无限个，那么就不存在维度灾难，我们可以用无限个维度去得到一个完美的分类器。训练集样本越少，越应该用少量的特征，如果N个训练样本足够覆盖一个一维的特征空间（区间大小为一个单位），那么 需要N^2个样本去覆盖一个同样密度的二维的特征空间，需要N^3个样本去覆盖三维的特征空间。

这些就是过拟合和维度灾难。

老师又提出一个概念叫bad generation
bad generation和overfitting的关系可以理解为：overfitting是VC Dimension（纬度）过大的一个过程，bad generation是overfitting的结果。

如果这样不理解我们看一个现实中的例子：
用开车的例子类比过拟合：
- 开车（学习的过程）
- 出车祸（过拟合）
- 开车开太快（纬度太高）
- 路不好（噪音）
- 对路况不熟悉（数据量大小限制）
现在我们知道了，纬度、噪音和数据大小就是影响过拟合现象的因素。
下面看看噪音和数据大小对这个现象的影响

噪音和数据大小

我们进行这样一个实验，试验中的数据集比较小。首先，在二维平面上，一个模型的分布由目标函数，一个x的10阶多项式，加上一些噪音构成，下图中，离散的圆圈是数据集，目标函数是蓝色的曲线。数据没有完全落在曲线上，是因为加入了噪音。

在来一个x的10阶多项式，但是不加上噪音，下图中，离散的圆圈是数据集，目标函数是蓝色的曲线。可以看出由于没有噪音，数据集完全落在曲线上。

下面用两个学习模型，进行学习，首先第一个目标就是看待多项式中的噪音问题，这两个模型如下：

从这里我们可以看到，上面两个问题中，10阶模型都发生了过拟合，反而2阶的模型却表现得相对不错。这好像违背了我们的第一感觉，比如对于目标函数是10阶多项式，加上noise的模型，按道理来说应该是10阶的模型更能接近于目标函数，因为它们阶数相同。但是，事实却是2阶模型泛化能力更强。这种现象产生的原因，从哲学上来说，就是“以退为进”。有时候，简单的学习模型反而能表现的更好。

下面从学习曲线来分析一下具体的原因，学习曲线描述的是Ein和Eout随着数据量N的变化趋势。下图中左边是2阶学习模型的学习曲线，右边是10阶学习模型的学习曲线。

我们得出一个结论：
纬度越高约有可能造成过拟合，数据越少也越容易造成过拟合，这种情况，纬度越少的学习模型会有更好的Ein和Eout的关系。

确定的噪音

我们接下来将上一部分的模型泛化，第一部分是目标函数f(x)，Qf阶多项式；第二部分是噪声ϵ，服从Gaussian分布。
如图：

这个图中，我们进行对噪音强度的不同和数据量的不同进行分析，这边直接给出分析结果（训练步骤不做说明，因为机器学习基石也只是想说明数据学习的过拟合现象）

上图中，红色越深，代表overfiting程度越高，蓝色越深，代表overfiting程度越低。
根据图中的情况：

分别是，数据少，随机噪音多，固定噪音少，纬度更高的模型会有更大的可能产生过拟合。

overfitting ‘easily’ happens

处理过拟合

还记得上面的开车的例子吗，现在我们叙述的就是如何开车，这样不会撞车：

• 开的慢（从简单模型开始）
• 用更清晰的道路信息（数据清洗）
• 探索更多的道路信息（数据提示，提供多一点点额外数据）
• 刹车（正则化，让他慢一点）
• 常看仪表板（证实，校验）
  其中呢
  数据清洗可以理解成改正原先的错误的标签
  数据过滤可以理解成删除原先没有用的样例
  而适当添加数据也会是很好的选择：
  添加合理的补充信息