数学建模-电池剩余放电时间预测

电池剩余放电时间预测
摘要
现在的通讯，金融，铁路，电动自行车，都大量的用到铅酸蓄电池。完全充电的电池在被使用或放置很长时间之后，充电状态将被衰减，减小电池寿命。本文主要针对铅酸电池剩余放电时间的预测，根据附件所提供的样本数据建立数学模型，进行拟合，得到电流强度下的电压与放电时间的关系。
首先（问题一），本文建立起非线性回归模型，对附件1提供的数据进行多次多项式拟合，使得回归分析结果最大程度趋近真实值，而残差最小。根据求得的回归方程，绘制电流强度下的放电曲线，计算出相应的平均相对误差MRE，且MRE值均较小，由MRE定义可知，其值越小，预测结果越好。因此，当电压为 9.8V 时，利用拟合出的放电曲线求出各电流强度的放电时间，当电流强度为30A~70A电池剩余的放电时间分别为620min、450min、348min、296min、264min。经残差分析检验，该模型很好地描述了不同电流下输出电压与放电时间的非线性回归关系。 
第二（问题二），根据附件1提供的数据，建立描述输出电压，放电时间，电流之间关系的数学模型，由于输出电压与放电时间没有直接的联系，因此在模型建立过程中引入电池的荷电状态(SOC)的概念，即电池剩余容量占电池容量的比，电池为充满状态时SOC的值为1，给出了蓄电池具体放电情况，并用MRE评估模型的精度，用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线，最后经残差分析检验可知，该模型很好地描述了电流、输出电压与放电时间之间的非线性回归关系。
第三（问题三），在问题一基础上，重新建立一个在任意恒定电流强度下的非线性回归模型，根据附件2提供的数据，由曲线拟合，绘制出了同一电池在具有相同电流强度的不同衰减状态下从满功率放电曲线，并进行比较。将电池衰减状态 3 进行拟合，得到放电曲线及回归方程，求出在衰减状态 3 下剩余的时间为 272.5min。经过模型检验，验证模型预测能力较好。 
关键字：多项式拟合，非线性回归，平均相对误差，残差分析；
 
1. 问题分析
1.1. 背景资料
    铅酸电池又称为铅酸蓄电池，性能可靠，用途广泛，可应用于工业，军事和日常生活中，如电动工具，计算机和通讯设备等方面。但其笨重、比能量低、寿命短是主要缺点。在以恒定电流强度放电的过程中，电压随时间降低，直到最低额定保护电压（Um=9V）。使用时需要了解铅酸蓄电池在电流负载下的剩余放电时间，已知在完全充电的情况下，铅酸电池在使用过程中，由于电池长久放置或使用等因素将出现衰减状态，将缩短蓄电池的使用寿命。
1.2. 问题重述
问题1：附件1的数据是来自使用不同电流强度测试的相同生产批次的电池的完全放电曲线的采样数据。在本问中，我们需要使用初等函数来表示每个放电曲线，即在相同电流强度下，不同的放电时间，电压值的变化曲线，以及根据附件1中给出的MRE定义，求出平均相对误差，进而确定输出电压与放电时间之间的函数关系，在曲线拟合过程中，由于存在误差，需要进行对预测模型检验及残差分析，判断预测精度，求解出最佳回归方程即放电曲线。当使用新电池时，对于不同型号的电池其剩余放电时间不同，预测当电流强度分别为30A，40A，60A，50A和70A时，电压为9.8伏的剩余放电时间。
问题2：要求建立描述输出电压，放电时间，电流之间关系的数学模型，并用均方根误差（MRE）评估这个模型的精度。用表格和图形给出电流强度为55A时的放电曲线，观察电压与放电时间之间的非线性回归关系。
问题3：由于电池电池长久放置或使用等因素将出现衰减状态，附件2提供的数据，给出了同一电池在具有相同电流强度的不同衰减状态下从满功率放电的记录数据。我们需要建立适当数学模型，对衰减状态为3的电池的剩余放电时间进行预测。
2. 模型假设
 1.假设附件中的数据都是合理的，并且给出的组数足够多能够在采样过程中具有普遍性。
 2.假设所建立的模型是在内阻不变，温度相同的条件下进行的。
 3.假设放电过程中电流强度保持恒定不变。
 4.数据的采样都是随机采样。
3. 符号说明
 为电池以一定强度的恒定电流放电时所具有的容量，
 为电池的剩余的容量，
 为已放出电量，
 为初始 ，
 为充放电效率，
 为总放电时间，
 放电时间，
 为标准电动势，
 为热力学常数，
  为热力学温度
 为电池反映的电荷数，
 为法拉第常数，
 为各参与电池反应组分的活度积，
 为产物的浓度，
 为生成物的浓度，
 为极化电动势，
 为电流密度，
 为电池内阻，
 为电池的荷电状态。
4. 模型的建立和求解
4.1. 问题一
4.1.1. 模型的建立
    对于问题一，在用初等函数[1]进行拟合时，建立的非线性回归模型，进行拟合分析，对于n次拟合多项式的次数选取，我们分别对MATLAB拟合工具箱及1stopt拟合软件进行比较，针对次数选取，可知并非拟合次数越高，拟合结果越精确，次数越小，结果比较粗糙，只有当拟合精度R^2愈接近1，此拟合的函数最为合理，且其中次数最多不要超过四阶，因为阶数太高不稳定会影响拟合的精度。比较发现，当多项式阶数相同情况下，二者拟合效果相同，但多项式拟合阶数可以最高可精确取到分数，且曲线拟合效果相对较好，相对来说误差较小。因此，筛选出的拟合所用的公式，尽量保证拟合效果最好，进而得到相应的放电曲线方程。方程如下：
                    
式中x代表电池放电时间，y代表电压。
根据最终所选取的放电曲线方程，分别绘制20A、30A、40A、50A、60A、70A、80A、90A、100A的电流强度的放电曲线。
 
图1 电流强度下放电曲线
由上图可知，电流强度不同，相同电压下，放电时间不同，图中，蓝色线代表电流强度20A时放电曲线，依次向下为电流强度30A......100A的放电曲线。电流强度越小，电压随放电时间变化越缓慢。
为了得到更显著的现象，我们绘制了20A 到100A 的 9 条预测放电曲线与原始放电曲线对比图如下图所示，同时列出非线性回归模型下相应电流强度下的放电曲线方程系数。其中蓝色线为拟合曲线，橙色线为原本的数据对应的曲线。
    
 图2电流强度为20A的放电曲线   图3电流强度为30A的放电曲线  图4电流强度为40A的放电曲线    
 图5电流强度为50A的放电曲线   图6电流强度为60A的放电曲线  图7电流强度为70A的放电曲线
   
 图8电流强度为80A的放电曲线  图9电流强度为90A的放电曲线  图10电流强度为100A的放电曲线


     结合图1，再次对模型进行多次多项式拟合，使得拟合优度达到最大值，分别绘制出20A 到100A 的 9 条预测放电曲线与原始放电曲线对比图，求得放电曲线方程系数如下表：








电流强度 P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8
20A 11.019 -0.202 0.031 -0.002 8.402×10-5 -1.774×10-6 1.951×10-8 -8.719×10-11
30A 10.944 -0.185 0.035 -0.003 0.002 -4.223×10-6 5.898×10-8 -3.345×10-10
40A 10.967 -0.257 0.056 -0.006 0.003 -1.073×10-5 1.756×10-7 -1.171×10-9
50A 10.991 0.347 0.087 -0.011 0.001 -2.423×10-5 4.509×10-7 -3.417×10-9
60A 11.023 -0.443 0.118 -0.016 0.001 -4.601×10-5 9.475×10-7 -7.951×10-9
70A 11.049 -0.557 0.168 -0.024 0.002 -8.361×10-5 9.475×10-6 -7.951×10-8
80A 11.087 -0.667 0.217 -0.034 0.003 -0.0001 3.273×10-6 -3.250×10-8
90A 11.128 -0.787 0.274 -0.046 0.004 -0.0002 5.512×10-6 -5.895×10-8
100A 11.166 -0.908 0.336 -0.060 0.005 -0.0003 8.738×10-6 -9.970×10-8


    根据拟合得到的方程，随机取样将附件1中的数据 Um 开始按不超过 0.005V 的最大间隔提取231个电压样本点，由MRE的定义求出平均相对误差。各个电流强度及每组的231个数据相对误差及平均相对误差的计算结果如附录1表格所示。
4.1.2. 模型检验
多元回归分析拟合工作中，曲线拟合得到电流强度在20A~100A内的拟合效果评价指标R-square及SSE公式如下：
总平方和（SST）:  
回归平方和（SSR）：   
残差平方和（SSE）：  
其中y为待拟合数值，其均值为 ，拟合值为 ，SST=SSR+SSE，因此决定系数为：
 
    在回归分析中，建立起的模型需检验其拟合效果，而判断拟合好坏最好还是使用无量纲的拟合系数（R值），这个值越接近1越好。 由拟合关系得相应的 R-square都较为接近 1，说明数据对模型的拟合的相合性较好。表中SSE是和方差，越小代表拟合越精确，不过这个单从数值上来看，不同问题评判标准不一样，不好判断。因此，在对模型进行评价时，需要同时观察R-square和SSE的值，得电流强度下的拟合系数及和方差如下表：
表1 电流强度下的拟合系数及和方差
电流强度(A) 20 30 40 50 60 70 80 90 100
R-Square 0.9989 0.9996 0.9992 0.9991 0.9987 0.9986 0.9994 0.9993 0.9984
SSE 0.3266 0.1534 0.1083 0.1113 0.0940 0.0719 0.0703 0.0622 0.0600
    根据表中结果可知，R-square都较为接近 1，SSE接近0，综合二者值可得，数据对模型的拟合的相合性较好。
进一步运用 MATLAB编程（具体程序见本文附录 2），根据问题分析从所给采样数据中选择出231个电压采样点，将选取电压样本点代入预测出的拟合放电曲线中，求得平均相对误差MRE如表2所示：
表2 电流强度下的平均相对误差MRE
电流强度(A) 20 30 40 50 60 70 80 90 100
MRE 0.0020 0.0043 0.0058 0.1186 0.0083 0.0216 0.0112 0.0350 0.0149
    
    由于在拟合过程中存在一定的偏差，对非线性回归方程进行回归分析后，需要模型进行残差分析及检验，观察拟合相关性，验证回归根系结果是否最大程度趋近于真实值。部分残差分析图如下：
   
图10电流强度为 20A下的残差分析图
检验结果如下表：
表3 电流强度下相关性参数
电流强度（A） 20 30 40 50 60 70 80 90 100
相关系数R2 0.9989 0.9996 0.9992 0.9991 0.9987 0.9986 0.9994 0.9993 0.9984
    该回归方程的相关系数 R2 均比0.5大且非常接近于1，说明构建的回归方程总体上有显著的预测效果。因此该模型可以很好的说明不同电流强度下输出电压与放电时间之间非线性回归关系。 
4.1.3. 模型求解
在使用新电池时，当放电电流强度分别为30A，40A，60A，50A和70A令测得的电压为9.8伏时，由得到的蓄电池型号，将 9.8V分别带入30~70A放电曲线方程中，根据建立的回归方程计算出9.8V所对应的时间，利用附件一中Um所对应的时间减去9.8V所对应的时间，得到电池剩余的放电时间，即电池剩余的放电时间分别为620min、450min、348min、296min、264min，见表4：
表4 电流强度下的电池剩余的放电时间
电流强度(A) 30 40 50 60 70
剩余时间（min） 620 450 348 296 264


4.2. 问题二
3.2.1模型的建立
 由于输出电压与放电时间没有直接的联系，因此我们引入电池的荷电状态(SOC)的概念，建立电池剩余电量SOC与电池端电压、电流强度和放电时间关系得数学模型，SOC的定义为电池剩余容量占电池容量的比，电池为充满状态时SOC的值为1，表达式为：
                                 (1)
                                                      (2)
其中，为电池以一定强度的恒定电流放电时所具有的容量， 为电池的剩余的容量， 为已放出电量， 为初始 ， 为充放电效率， 为总放电时间， 放电时间。
为了建立电池的荷电状态与输出电压之间的联系，我们引入电池的热力学 方程
                                                (3)
                                                 (4)
 为标准电动势， 为热力学常数，取值为 , 取值为  ， 为电池反映的电荷数，取值为2， 为法拉第常数，取值为 ， 为各参与电池反应组分的活度积， 为产物的浓度， 为生成物的浓度。
铅酸蓄电池在放电的状态下，热力学平衡被打破，正极和负极都偏离其平衡电位，发生电极极化。放电时电池的正极向负级的方向偏离，负极向正级的方向偏离，蓄电池的输出电压低于电池电动势。即，输出电压等于静态电压减去极化电动势。考虑到电池内阻实际上也消耗了电池的一部分电池电动势，因此相应的表达式应该为：
                                                   (5)
其中 为极化电动势，公式为 ， 为电流密度， 为电池内阻，实际上，电池在放电过程中电池内阻会随着电池放电时间的增加而减少，即 也应该是一个关于时间的函数，求内阻的公式为：
                                                       (6)
联立这几个公式可得：
     (7)
其中 为由于反应物和生成物比例变化引起的电压变化的常数，取值为0.2， 电化学极化常数,取值为0.15。
4.2.1. 模型检验
同理，可得任何恒定电流强度下MRE的值为0.00431，经比较分析，问题二求得的MRE小于问题中获得的MRE值，由此可知，问题二建立的模型较问题一精度更高，且由下表可知判定系数R2值为0.955，接近于1，说明模型拟合优度高。
模型汇总b
模型 R R 方 调整 R 方 标准 估计的误差 更改统计量
R 方更改 F 更改 df1 df2 Sig. F 更改
1 .977a .955 .955 .08802 .955 40095.253 1 1881 .000
a. 预测变量: (常量), VAR00003。
b. 因变量: VAR00002
    本文中，在做电池剩余电量SOC与电池端电压、电流强度和放电时间关系得数学模型的时候，残差的分布必须是正态分布，否则就会使得得到的回归方程没有任何实际的意义。在检验残差的分布是否为正态的时候，若残差的分布满足正态分布，说明模型拟合效果好，因此在残差分析时我们要用到p-p图和直方图。 
   
        残差分析直方图                              残差分析p-p图
    上图为我们所做p-p图和直方图，直方图中，图形分布符合正态分布，其中正态分布只是要求数据大概符合正态，因此大概可以认为数据是符合正态分布的p-p图要看两条线之间的关系，如果两条线相互接近，如图所示，就可以认为数据是符合正态分布的，因为线性回归残差的分布形态符合要求，说明模型拟合相合性好。


4.2.2. 模型求解
    除了已知数据中的电流，电动势，为了计算电容量 我们还需要计算总放电时间 
电流A 总时间min 电流A 总时间min 电流A 总时间min
20 1883 50 655 80 366
30 1228 60 523 90 311
40 863 70 432 100 270
    根据电流与总放电时间的数据，拟合曲线：
                                (8) 
求出55A时，对应的放电总时间 。将相关数据代入模型二中求解


     将电流强度55A带入上述求得的放电曲线中几式中，得到相应放电曲线如图13：


              
电流为55A时电池的放电曲线
 
对于电流强度为55A时，选取部分放电时间下的电压值，即放电曲线的表格表示形式见表5。


表5电流强度为55A的放电曲线
放电时间(min) 电压(V) 放电时间(min) 电压(V) 放电时间(min) 电压(V)
102 10.463 122 10.458 142 10.453
104 10.463 124 10.458 144 10.452
106 10.462 126 10.457 146 10.452
108 10.462 128 10.457 148 10.451
110 10.461 130 10.456 150 10.451
112 10.461 132 10.456 152 10.45
114 10.46 134 10.455 154 10.449
116 10.46 136 10.455 156 10.449
118 10.459 138 10.454 158 10.448
120 10.459 140 10.454 160 10.447




4.3. 问题三
4.3.1. 模型的建立
    由于电池出现衰减状态，电池性能将受到影响，而不同衰减状态下电压与放电时间呈现不同的变化趋势。同问题一，建立非线性回归模型，对附件2提供的数据整理分析[4]，在同一曲线图中绘制同一电池在具有相同电流强度的不同衰减状态下从满功率放电曲线如下图：
  
图14 相同电流强度的不同衰减状态下从满功率放电曲线
    由图14我们可知，绿色、紫色和蓝色分别表示衰减状态一、衰减状态二和衰减状态三，衰减状态一、衰减状态二、衰减状态三的递增趋势大致相同。因此，我们预测衰减状态一致。对衰减状态三进行拟合，得到回归方程和拟合曲线：
 


放电曲线方程：
 
 
图15 衰减状态三放电曲线
4.3.2. 模型求解
根据建立的非线性回归数学模型，求得拟合放电曲线及回归方程，计算出9.8V所对应的总时间，利用附件2中Um所对应的时间减去9.8V所对应的时间，得到电池剩余的放电时间，即电池剩余的放电时间272.5min。
3.3.3   模型检验
在模型求解过程中，获取判定系数R2=0.9986，该回归方程的相关系数 R2 均比0.5大且非常接近于1。说明构建的回归方程总体上有显著的预测效果。
5. 模型的评价与推广 
5.1. 模型的优点：
 问题二提出的数学模型能够较准确地表达蓄电池充放电过程中端电压和容量之间的关系,并能够很好电流强度对充放电过程中端电压的影响。
 本文研究中只考虑电流强度、电压、生与放电时间等因素的影响，使问题进一步得到简化； 
 模型的建立考虑了铅酸蓄电池内部结构以及供电方法。
5.2. 模型的缺点：
 论文通过数据建立的模型实际上只能说明这组数据范围内输出电压与放电时间之间的关系，预测能力不好，可能会与实际产生很大的偏差。
 论文纯粹通过数据建立模型，没有考虑电池内部结构，因此难以应用到其他种类电池上。
 这种模型无法解释铅酸电池在放电初期，电压剧烈下降的情况
 需要知道电池的容量才能求解
 电池供电过程中内阻消耗的能量大部分会以热量的形式散失，因此电池在供电过程中温度会不断升高，而电池内阻和电动势会收到温度的影响，但是这个模型并没有加以考虑，因此会造成一定的误差。


5.3. 模型推广
    本文中我们建立的任一恒定电流强度时的放电曲线模型，能够较为精确的计算出不同电流强度下的电池放电时间，从而预测出电池的剩余放电时间，并用平均相对误差 MRE 评估模型的精度，在 MRE 中考虑的电压采样点的具有代表性，使得 MRE 精确度越高。一般情况电池通过较长时间使用或放置，充满电后的荷电状态会发生衰减。为此，我们建立同一电池在不同衰减状态下的剩余放电时间预测模型。蓄电池剩余放电时间的预测与日常生活密切相关，涉及到能源与环保领域，从实际中出发，所建立的模型具备较好的普遍性、实用性。根据模型能准确的预测电池剩余电量，预测蓄电池及新型产品的使用寿命。
6. 模型改进
   在解决问题过程中，本文建立的初等函数模型较为单一，可以考虑使用分段函数拟合放电曲线。选取最适合的初等函数建模求解，使蓄电池剩余放电时间的预测更准确。如果能够准确测量蓄电池的剩余容量,就可以采用蓄电池剩余容量控制法对蓄电池的放电过程进行控制,从而可以有效地防止蓄电池的过放电,延长蓄电池的使用寿命,并提高太阳能光伏电源系统的可靠性。针对问题二，考虑温度对容量的影响
 
 为实际容量， 为温度为 时的容量， 为温度系数， 为实际温度
与模型二联立，替换Ah
 
内阻产热 ，由于内阻产热导致的 ，实际温度 ，替换 
 


参考文献
[1]陈东彦,刘凤秋.《数学建模》.科学出版社，2014.01.01.
[2]李仲佳.电池剩余放电时间预测.天津职业大学基础部.
[3]王　庆.铅酸电池剩余放电时间预测模型,苏州市职业大学数理部.
[4]王斯成1,陈子平1,杨军2,于安业2.蓄电池剩余容量(SOC)数学模型探讨和在线测试仪的开发(1.北京市计科能源新技术开发公司,2.广东番禺恒达电源有限公司).太阳能学报第26卷第1期,2005(2).