python学习之数据结构(五):数据结构与算法:排序与搜索

一、排序与搜索:

排序算法（英语：Sorting algorithm）是一种能将一串数据依照特定顺序进行排列的一种算法。

1. 排序算法的稳定性:

稳定性: 稳定排序算法会让原本有相等键值的纪录维持相对次序。也就是如果一个排序算法是稳定的，当有两个相等键值的纪录R和S，且在原本的列表中R出现在S之前，在排序过的列表中R也将会是在S之前。
  不稳定排序算法可能会在相等的键值中改变纪录的相对次序，但是稳定排序算法从来不会如此。不稳定排序算法可以被特别地实现为稳定。作这件事情的一个方式是人工扩充键值的比较，如此在其他方面相同键值的两个对象间之比较，（比如上面的比较中加入第二个标准：第二个键值的大小）就会被决定使用在原先数据次序中的条目，当作一个同分决赛。然而，要记住这种次序通常牵涉到额外的空间负担。

二、常见的排序算法:

1.冒泡排序:

冒泡排序（英语：Bubble Sort）是一种简单的排序算法。它重复地遍历要排序的数列，一次比较两个元素，如果他们的顺序错误就把他们交换过来。遍历数列的工作是重复地进行直到没有再需要交换，也就是说该数列已经排序完成。这个算法的名字由来是因为越小的元素会经由交换慢慢“浮”到数列的顶端。

1.1 冒泡排序算法的运作如下：

• 比较相邻的元素。如果第一个比第二个大（升序），就交换他们两个。
• 对每一对相邻元素作同样的工作，从开始第一对到结尾的最后一对。这步做完后，最后的元素会是最大的数。
• 针对所有的元素重复以上的步骤，除了最后一个。
• 持续每次对越来越少的元素重复上面的步骤，直到没有任何一对数字需要比较。

1.2 冒泡排序的分析:

# coding=utf-8
def bubble_sort(alist):
    for j in range(len(alist)-1,0,-1):
        # j表示每次遍历需要比较的次数，是逐渐减小的
        for i in range(j):
            if alist[i] > alist[i+1]:
                alist[i], alist[i+1] = alist[i+1], alist[i]
if __name__ == "__main__":
	li = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
	bubble_sort(li)
	print(li)
# [17, 20, 26, 31, 44, 54, 55, 77, 93]

1.3 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：O(n)
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：稳定

2. 选择排序:

选择排序（Selection sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理如下。首先在未排序序列中找到最小（大）元素，存放到排序序列的起始位置，然后，再从剩余未排序元素中继续寻找最小（大）元素，然后放到已排序序列的末尾。以此类推，直到所有元素均排序完毕。

  选择排序的主要优点与数据移动有关。如果某个元素位于正确的最终位置上，则它不会被移动。选择排序每次交换一对元素，它们当中至少有一个将被移到其最终位置上，因此对n个元素的表进行排序总共进行至多n-1次交换。在所有的完全依靠交换去移动元素的排序方法中，选择排序属于非常好的一种。

2.1 选择排序分析:

#coding=utf-8
def selection_sort(alist):
    n = len(alist)
    # 需要进行n-1次选择操作
    for i in range(n-1):
        # 记录最小位置
        min_index = i
        # 从i+1位置到末尾选择出最小数据
        for j in range(i+1, n):
            if alist[j] < alist[min_index]:
                min_index = j
        # 如果选择出的数据不在正确位置，进行交换
        if min_index != i:
            alist[i], alist[min_index] = alist[min_index], alist[i]

if __name__ == "__main__":
	alist = [54,226,93,17,77,31,44,55,20]
	selection_sort(alist)
	print(alist)

2.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：O(n^2)
• 最坏时间复杂度：O(n^2)
• 稳定性：不稳定

3.插入排序:

插入排序（英语：Insertion Sort）是一种简单直观的排序算法。它的工作原理是通过构建有序序列，对于未排序数据，在已排序序列中从后向前扫描，找到相应位置并插入。插入排序在实现上，在从后向前扫描过程中，需要反复把已排序元素逐步向后挪位，为最新元素提供插入空间。

3.1 插入排序分析:

# coding=utf-8
def insert_sort(alist):
    # 从第二个位置，即下标为1的元素开始向前插入
    for i in range(1, len(alist)):
        # 从第i个元素开始向前比较，如果小于前一个元素，交换位置
        for j in range(i, 0, -1):
            if alist[j] < alist[j-1]:
                alist[j], alist[j-1] = alist[j-1], alist[j]
if __name__ == "__main__":
	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
	insert_sort(alist)
	print(alist)

3.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：O(n)
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：稳定

4. 希尔排序:

希尔排序(Shell Sort)是插入排序的一种。也称缩小增量排序，是直接插入排序算法的一种更高效的改进版本。希尔排序是非稳定排序算法。该方法因DL．Shell于1959年提出而得名。 希尔排序是把记录按下标的一定增量分组，对每组使用直接插入排序算法排序；随着增量逐渐减少，每组包含的关键词越来越多，当增量减至1时，整个文件恰被分成一组，算法便终止。

4.1 希尔排序的分析:

#coding=utf-8
def shell_sort(alist):
    n = len(alist)
    # 初始步长
    gap = n / 2
    while gap > 0:
        # 按步长进行插入排序
        for i in range(gap, n):
            j = i
            # 插入排序
            while j>=gap and alist[j-gap] > alist[j]:
                alist[j-gap], alist[j] = alist[j], alist[j-gap]
                j -= gap
        # 得到新的步长
        gap = gap / 2
        
if __name__ == "__main__":
	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
	shell_sort(alist)
	print(alist)

4.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：根据步长序列的不同而不同
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：不稳定

5. 快速排序:

快速排序（英语：Quicksort），又称划分交换排序（partition-exchange sort），通过一趟排序将要排序的数据分割成独立的两部分，其中一部分的所有数据都比另外一部分的所有数据都要小，然后再按此方法对这两部分数据分别进行快速排序，整个排序过程可以递归进行，以此达到整个数据变成有序序列。

步骤为：

1. 从数列中挑出一个元素，称为"基准"（pivot），
2. 重新排序数列，所有元素比基准值小的摆放在基准前面，所有元素比基准值大的摆在基准的后面（相同的数可以到任一边）。在这个分区结束之后，该基准就处于数列的中间位置。这个称为分区（partition）操作。
3. 递归地（recursive）把小于基准值元素的子数列和大于基准值元素的子数列排序。

递归的最底部情形，是数列的大小是零或一，也就是永远都已经被排序好了。虽然一直递归下去，但是这个算法总会结束，因为在每次的迭代（iteration）中，它至少会把一个元素摆到它最后的位置去。

5.1 快速排序的分析

# coding=utf-8
def quick_sort(alist, start, end):
    """快速排序"""

    # 递归的退出条件
    if start >= end:
        return

    # 设定起始元素为要寻找位置的基准元素
    mid = alist[start]

    # low为序列左边的由左向右移动的游标
    low = start

    # high为序列右边的由右向左移动的游标
    high = end

    while low < high:
        # 如果low与high未重合，high指向的元素不比基准元素小，则high向左移动
        while low < high and alist[high] >= mid:
            high -= 1
        # 将high指向的元素放到low的位置上
        alist[low] = alist[high]

        # 如果low与high未重合，low指向的元素比基准元素小，则low向右移动
        while low < high and alist[low] < mid:
            low += 1
        # 将low指向的元素放到high的位置上
        alist[high] = alist[low]

    # 退出循环后，low与high重合，此时所指位置为基准元素的正确位置
    # 将基准元素放到该位置
    alist[low] = mid

    # 对基准元素左边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, start, low-1)

    # 对基准元素右边的子序列进行快速排序
    quick_sort(alist, low+1, end)

if __name__ == "__main__":
	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
	quick_sort(alist,0,len(alist)-1)
	print(alist)

5.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(n2)
• 稳定性：不稳定

6. 归并排序:

归并排序是采用分治法的一个非常典型的应用。归并排序的思想就是先递归分解数组，再合并数组。

将数组分解最小之后，然后合并两个有序数组，基本思路是比较两个数组的最前面的数，谁小就先取谁，取了后相应的指针就往后移一位。然后再比较，直至一个数组为空，最后把另一个数组的剩余部分复制过来即可。

6.1 归并排序的分析

# coding=utf-8
def merge_sort(alist):
    if len(alist) <= 1:
        return alist
    # 二分分解
    num = len(alist)/2
    left = merge_sort(alist[:num])
    right = merge_sort(alist[num:])
    # 合并
    return merge(left,right)

def merge(left, right):
    '''合并操作，将两个有序数组left[]和right[]合并成一个大的有序数组'''
    #left与right的下标指针
    l, r = 0, 0
    result = []
    while l<len(left) and r<len(right):
        if left[l] < right[r]:
            result.append(left[l])
            l += 1
        else:
            result.append(right[r])
            r += 1
    result += left[l:]
    result += right[r:]
    return result
    
if __name__ == "__main__":
	alist = [54,26,93,17,77,31,44,55,20]
	sorted_alist = mergeSort(alist)
	print(sorted_alist)

6.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度：O(nlogn)
• 最坏时间复杂度：O(nlogn)
• 稳定性：稳定

7. 常见排序算法效率比较

排序算法	平均情况	最好情况	最坏情况	稳定性	说明
冒泡排序	O(n^2)	O(n)	O(n^2)	稳定	n小时比较好
选择排序	O(n^2)	O(n^2)	O(n^2)	不稳定	n小时比较好
插入排序	O(n^2)	O(n)	O(n^2)	稳定	大部分已有序好
快速排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(n^2)	不稳定	n大时比较好
希尔排序	O(logn)~O(n^2)	O(n)	O(n^2)	不稳定	和步长有关
归并排序	O(nlogn)	O(nlogn)	O(nlogn)	稳定	n大时比较好

三、搜索:

搜索是在一个项目集合中找到一个特定项目的算法过程。搜索通常的答案是真的或假的，因为该项目是否存在。 搜索的几种常见方法：顺序查找、二分法查找、二叉树查找、哈希查找

1.二分法查找:

  二分查找又称折半查找，优点是比较次数少，查找速度快，平均性能好；其缺点是要求待查表为有序表，且插入删除困难。因此，折半查找方法适用于不经常变动而查找频繁的有序列表。首先，假设表中元素是按升序排列，将表中间位置记录的关键字与查找关键字比较，如果两者相等，则查找成功；否则利用中间位置记录将表分成前、后两个子表，如果中间位置记录的关键字大于查找关键字，则进一步查找前一子表，否则进一步查找后一子表。重复以上过程，直到找到满足条件的记录，使查找成功，或直到子表不存在为止，此时查找不成功。

1.1 二分法查找的实现:

递归实现:

# coding=utf-8
def binary_search(alist, item):
	if len(alist) == 0:
		return False
	else:
		midpoint = len(alist)//2
		if alist[midpoint] == item:
			return True
		else:
			if(item)<alist[midpoint]:
				return binary_search(alist[:midpoint], item)
			else:
				return binary_search(alist[midpoint+1:], item)

if __name__ == "__main__":
	test_list = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,90]
	print(binary_search(test_list, 3))	# Flase
	print(binary_search(test_list, 19))	# True

非递归实现:

# coding=utf-8
def binary_search2(alist, item):
	first=0
	last=len(alist)-1
	while first<=last:
		midpoint = (first+last)//2
		if alist[midpoint] == item:
			return True
		elif item <alist[midpoint]:
			last = midpoint-1
		else:
			first = midpoint + 1
	return False

if __name__ == "__main__":
	test_list = [0, 1, 2, 8, 13, 17, 19, 32, 42,90]
	print(binary_search(test_list, 3))	# Flase
	print(binary_search(test_list, 19))	# True

1.2 时间复杂度:

• 最优时间复杂度:O(1)
• 最坏时间复杂度:O(logn)