欧拉角与万向节锁

欧拉角与万向节锁之理论解析

  翻了一大堆博客，很少有对万向节锁介绍清楚的。这里谈谈我对万向节锁的通俗认识。

前提

1. 我们这里采用左手坐标系（与Direct3D所使用的一样）。左手坐标系如下图：
   
2. 我们使用的点用行向量来表示（与Direct3D所使用的一样），所以只能是vector*matrix，而不能是matrix*vector。
3. 由于只考虑旋转，所以这里行向量是三维的，矩阵也是3x3的（在Direct3D中，由于要考虑平移，所以行向量是四维的，矩阵是4x4的）。

欧拉角的相关知识

1. 所谓欧拉角就是绕x轴、y轴、z轴旋转的角度。（嗯，通俗易懂==）
2. 由于绕轴的旋转顺序不同，得到的结果也不一定一样；
   比如我们把点（1，0，0）绕x、y、z轴顺序分别旋转pi/2、pi/2、0，得到的结果为（0，0，-1）；
   如果我们把点（1，0，0）绕y、x、z轴顺序分别旋转pi/2、pi/2、0，得到的结果为（0，1，0）；
   所以为了方便分析，我们这里以x、y、z的顺序来对点进行旋转。

矩阵计算

1. 前面我们旋转一个点是自己在脑子里想象着转的，如果使用矩阵计算的话该如何计算？
     我们都知道可以使用旋转矩阵来计算，我这里把绕x、y、z分别旋转θ1、θ2、θ3的旋转矩阵贴在下面：
   
     我们用Mat1、Mat2、Mat3来表示上面三个矩阵，用Pos来表示要旋转的点的坐标，最后旋转后的结果应该为Pos*Mat1*Mat2*Mat3。
2. 矩阵计算所绕的轴是固定于世界的坐标轴还是物体自身的坐标轴？
   
   • 可以用点（0，0，1）绕x、y、z轴顺序分别旋转pi/6、pi、0，来验证，使用上面介绍的矩阵计算得到的结果为（0，-0.5，-0.866），这跟使用固定于世界的坐标轴计算的结果是一致的。如果使用自身的坐标轴，结果应该为（0，0.5，-0.866）。所以这里使用的确实是固定于世界的坐标轴。
   • 虽然是固定于世界的坐标轴，但是有一点要注意，就是后面的旋转轴不但会旋转前面得到的点坐标，同样也会旋转前面已经用过的旋转轴。所以严谨来说，应该是当前旋转矩阵使用的是固定于世界的坐标轴。
3. 矩阵计算与万向节的对应关系
   
   • Pos*Mat1*Mat2*Mat3是有层级关系的，Mat1（绕x轴）处于内层，Mat3（绕z轴）处于外层，外层会影响内层的结果；
   • 万向节也是相似的，内层的旋转轴对应于内层的旋转矩阵，外面的旋转轴对应外层的矩阵。外层的旋转轴会改变内层的旋转结果（这与矩阵运算也是一致的）；这里给张万向节的图：
     
   • 万向节的旋转结果与矩阵计算的结果是一样的，给定三个旋转角度，矩阵计算与旋转万向节可以得到一致的结果；
   • 万向节与矩阵计算的区别在于：矩阵计算只能是从左向右计算！这是由数学计算规则决定的（计算矩阵合并最后也还是要左乘）。而万向节可以在给定旋转角度的情况下，以任意次序旋转（当然，前提是万向节的层级关系必须和矩阵计算一致）。比如：可以先旋转外层再旋转内层，也可以先旋转内层再旋转外层（这与矩阵计算的次序一致）。

万向节锁产生的原因

1. 对于矩阵运算Pos*Mat1*Mat2*Mat3，旋转角分别为θ1（绕x）、θ2（绕y）、θ3（绕z），我们可以合并右边的三个矩阵，假设Mat = Mat1*Mat2*Mat3，当θ2 = PI/2的时候，Mat的值为：
   
   可以看到此时旋转矩阵只与θ1-θ3有关，也就是只能影响一个维度的旋转，也就是丢失了一个旋转自由度，这就是所谓的万向节锁。
2. 对于万向节旋转来产生万向节锁更简单（因为不用推导==），只需要将处于中间层的旋转轴旋转PI/2，就能得到万向节锁，此时不论旋转内层旋转轴还是旋转外层旋转轴，都只能在同一个自由度上旋转。可以看这个视频来见识一下真正的万向节锁！

后记

有些博客说欧拉角是绕自身的x、y、z轴旋转的，我也不知道是怎么得出这个结论的==
这些都是我自己的理解，如有错误还请大家指正。