通俗易懂的泰勒展开微积分推导过程

相信大家都会求导吧，给定一个f(x)，都可以唯一确定一个导函数f '(x)，导函数给出了原函数的变化情况。
比如导函数为
但是，倒过来就不行了，一个导函数对应原函数为，，………无穷多个。
写成积分形式就是

具体求导过程很多，自己看，为什么呢，因为在求导的过程中，我们虽然得到的函数今后的变化情况，但损失了一部分信息，就是原函数的初始值。概括一下，
原函数的信息=导函数的信息+初始值信息，
初始值信息没了，一个导函数就对应多个原函数了。

知道了原因，我们就可以去掉上面那个恼人的C了，加入初始值信息就好了。




那个f（0）就是初始信息。当然初始信息可以从任意位置开始，不一定从0开始
这时候我们得到了
(原函数的信息=导函数的信息+初始值信息)
继续这个过程

代入得



再接着做下去

无限做下去，前面是余项，整个是泰勒展开式

泰勒公式

• 

公式描述：

泰勒公式可以用若干项连加式来表示一个函数，这些相加的项由函数在某一点的导数求得。

在泰勒公式中，取x ₀=0，得到的级数

称为 麦克劳林级数。函数

的麦克劳林级数是x的 幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与

的麦克劳林级数一致。
也就是：泰勒公式：

常见的麦克劳林级数

下面给出几个常见函数在x=0处的泰勒级数，即麦克劳林级数。

指数函数：

自然对数：

几何级数：

正弦函数：

余弦函数：

正切函数:

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