辗转相除法为什么能够得到最大公约数

GCD（Greatest Common Divisor最大公约数）
这里先说一下什么是辗转相除法

辗转相除法的具体内容

两个数求最大公约数

a	45
b	27
ri	表示第 i 次取余的结果

步骤：

• 用较大数除以较小数，得到余数
  r₁ = a % b = 18
• 取 a、b 中最小的数与 r₁相除，得到余数
  r₂ = b % r₁ = 9
• 取 r₁ 与 b中最小的数，与 r₂相除，得到余数
  r₃ = r₁ % r₂ = 0
• 得到 r₃ 即为最大公约数

简言之就是
先：
r = max % min
再：
max = min
min = r
循环这两步，直到 r = 0

数学原理

number = divisor * coefficient

divisor	代表最大公约数
coefficient	代表系数
reminder	代表余数

假设a = 45， b = 27，求a与b的GCD
a = 45 = 9 * 5 = divisor * m = 最大公约数 * 系数 m
b = 27 = 9 * 3 = divisor * n = 最大公约数 * 系数 n
reminder = a % b = 18 = 9 * ( 5 % 3) = divisor *( m % n ) = divisor * k = 最大公约数 * 系数 k

由reminder = a % b = divisor *( m % n ） 可见，在 a%b的过程中，实际改变的是coefficient（divisor的系数）

所以如果取余到第 n 次时， r_n = 0，那么 r_n-1 即为最大公约数：
r_n = max % min = divisor * ( k % 1 ) = divisor * 0 = 0

max	rn-2 = divisor * k
min	rn-1 = diviso * 1 = divisor

代码段

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;

public class GCD {

	public static void main(String[] args) throws IOException {
		BufferedReader reader = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		String[] split = reader.readLine().split(" ");
		int a = Integer.parseInt(split[0]);
		int b = Integer.parseInt(split[1]);
		// reminder余数
		int r = -1;
		while (r != 0) {
			r = a % b;
			a = b;
			b = r;
		}
		System.out.println(a);
	}

}