【动态规划】【打卡121天】：背包理论基础

1、背包理论基础

        有N件物品和一个最多能背重量为W的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i]。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值最大。

        其实这是标准的背包问题。每一件物品有2种状态，取物品放入背包中，不取该物品放入背包中。所以可以使用回溯法搜索出所有的情况，那么时间复杂度就是O(2^n)，这里的n表示物品数量。

2、算法分析

①确定dp数组以及下标的含义

对于背包问题，有一种写法， 是使用二维数组。

即dp[i][j] 表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

②确定递推公式

dp[i][j]的含义：从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。 

有两种情况推导：

（1）不放物品：由dp[i - 1][j]推出，即背包容量为j，里面不放物品i的最大价值，此时dp[i][j]就是dp[i - 1][j]。(其实就是当物品i的重量大于背包j的重量时，物品i无法放进背包中，所以被背包内的价值依然和前面相同)

（2）放物品：由dp[i - 1][j - weight[i]]推出，dp[i - 1][j - weight[i]] 为背包容量为j - weight[i]的时候不放物品i的最大价值，那么dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i] （物品i的价值），就是背包放物品i得到的最大价值。

所以递归公式： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

③初始化数组

关于初始化，一定要和dp数组的定义吻合，否则到递推公式的时候就会越来越乱。

首先从dp[i][j]的定义出发，如果背包容量j为0的话，即dp[i][0]，无论是选取哪些物品，背包价值总和一定为0。

        状态转移方程 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 可以看出i 是由 i-1 推导出来，那么i为0的时候就一定要初始化。dp[0][j]，即：i为0，存放编号0的物品的时候，各个容量的背包所能存放的最大价值。那么很明显当 j < weight[0]的时候，dp[0][j] 应该是 0，因为背包容量比编号0的物品重量还小。当j >= weight[0]时，dp[0][j] 应该是value[0]，因为背包容量放足够放编号0物品。

初始化dp[0][j]

 ④确定遍历顺序

先遍历物品，再遍历背包比较容易理解。

// weight数组的大小 就是物品个数
for(int i = 1; i < weight.size(); i++) { // 遍历物品
    for(int j = 0; j <= bagWeight; j++) { // 遍历背包容量
        if (j < weight[i]) dp[i][j] = dp[i - 1][j]; 
        else dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]);

    }
}

 dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i - 1][j - weight[i]] + value[i]); 递归公式中可以看出dp[i][j]是靠dp[i-1][j]和dp[i - 1][j - weight[i]]推导出来的。

3、代码实现

 public static void testWeightBagProblem(int[] weight,int[] value,int bagSize){
        int wLen = weight.length;
        int value0 = 0;
        // dp[i][j]:d[i][j]表示背包容量是j时候，前i个物品获得的最大价值。当然i个物品的总价值小于等于j的容量
        int[][] dp = new int[wLen + 1][bagSize + 1];
        // 初始化背包,当背包容量为0的时候，获得的总价值也为0
        for (int i = 0; i <= wLen; i++) {
            dp[i][0] = value0;
        }
        // 遍历背包和背包容量,因为初始化的时候，dp[0][0]初始化为0;
        for (int i = 1; i <= wLen; i++) {
            for (int j = 1; i <= bagSize; j++) {
                // 背包的容量小于第i-1个下标物品的重量
                if (j < weight[i - 1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j];
                }else{
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i-1]] + value[i-1]);
                }
            }
        }
        // 遍历数组
        for (int i = 0; i <= wLen; i++) {
            for (int j = 0; j <= bagSize; j++) {
                System.out.println(dp[i][j] + " ");
            }
            System.out.println(" \n");
        }
    }