You Are Given Some Letters...(CodeForces-1202F)(数论分块,思维题)

题目

CF

注意最后一个周期可以不是满的，其实说最小有点不严谨
$1\le a,b\le 10^9$

思路

首先我们思考一个比较暴力的做法，枚举周期 $k$ ，我们记 $a+b=n$
我们假设一个周期内 $A$ 的数量为 $x$ ， $B$ 的数量为 $y$，我们可以得到：
$$\{\begin{array}{l}0\le a-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \ast x\le x\\ 0\le b-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor \ast y\le y\end{array}$$
我们可以得到
$$\{\begin{array}{l}\frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1}\le x\le \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\\ \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1}\le y\le \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\end{array}$$
因为 $x,y$ 均为整数，我们又可以写为：
$$\{\begin{array}{l}\lceil \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1}\rceil \le x\le \lfloor \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\rfloor \\ \lceil \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor +1}\rceil \le y\le \lfloor \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor }\rfloor \end{array}$$
看到这个我们就想到了数论分块，因为 $\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 最多只有 $2\sqrt{n}$ 个取值，枚举 $t=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor$ 得到 $k$ 的取值 $[l,r]$
我们可以得到:
$$\{\begin{array}{l}\lceil \frac{a}{t+1}\rceil \le x\le \lfloor \frac{a}{t}\rfloor \\ \lceil \frac{b}{t+1}\rceil \le y\le \lfloor \frac{b}{t}\rfloor \end{array}$$
$$\{\begin{array}{l}x\in [\lceil \frac{a}{t+1}\rceil ,\lfloor \frac{a}{t}\rfloor ]\\ y\in [\lceil \frac{b}{t+1}\rceil ,\lfloor \frac{b}{t}\rfloor ]\end{array}$$
此时 $x+y=k$ 且 $k\in [l,r]$
于是 $k\in [\lceil \frac{a}{t+1}\rceil +\lceil \frac{b}{t+1}\rceil ,\lfloor \frac{a}{t}\rfloor +\lfloor \frac{b}{t}\rfloor ]$
于是满足区间合法的情况下求交即是对答案的贡献
注意数论分块写法

代码

#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
#define LL long long
int read(){
    int f=1,x=0;char c=getchar();
    while(c<'0'||'9'<c){if(c=='-')f=-1;c=getchar();}
    while('0'<=c&&c<='9') x=(x<<3)+(x<<1)+c-'0',c=getchar();
    return f*x;
}
#define MAXN 1000000000
#define INF 0x3f3f3f3f
int main(){
	int a=read(),b=read(),n=a+b,ans=0;
	for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
		r=n/(n/l);
		int t=n/l,al=(a+t)/(1+t),ar=a/t,bl=(b+t)/(1+t),br=b/t;
		if(al<=ar&&bl<=br) ans+=max(0,min(r,ar+br)-max(l,al+bl)+1);
	}
	printf("%d\n",ans);
    return 0;
}

后记