You Are Given Some Letters...(CodeForces-1202F)(数论分块,思维题)
文章目录
- 题目
- 思路
- 代码
- 后记
题目
CF
注意最后一个周期可以不是满的，其实说最小有点不严谨
1 ≤ a , b ≤ 1 0 9 1\le a,b\le 10^9 1≤a,b≤109
思路
首先我们思考一个比较暴力的做法，枚举周期 k k k ，我们记 a + b = n a+b=n a+b=n
我们假设一个周期内 A A A 的数量为 x x x ， B B B 的数量为 y y y，我们可以得到：
{ 0 ≤ a − ⌊ n k ⌋ ∗ x ≤ x 0 ≤ b − ⌊ n k ⌋ ∗ y ≤ y \begin{cases} 0\le a-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor*x\le x\\ 0\le b-\lfloor \frac{n}{k}\rfloor*y\le y \end{cases} {0≤a−⌊kn⌋∗x≤x0≤b−⌊kn⌋∗y≤y
我们可以得到
{ a ⌊ n k ⌋ + 1 ≤ x ≤ a ⌊ n k ⌋ b ⌊ n k ⌋ + 1 ≤ y ≤ b ⌊ n k ⌋ \begin{cases} \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\le x\le \frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\\ \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\le y\le \frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor} \end{cases} {⌊kn⌋+1a≤x≤⌊kn⌋a⌊kn⌋+1b≤y≤⌊kn⌋b
因为 x , y x,y x,y 均为整数，我们又可以写为：
{ ⌈ a ⌊ n k ⌋ + 1 ⌉ ≤ x ≤ ⌊ a ⌊ n k ⌋ ⌋ ⌈ b ⌊ n k ⌋ + 1 ⌉ ≤ y ≤ ⌊ b ⌊ n k ⌋ ⌋ \begin{cases} \lceil\frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\rceil\le x\le \lfloor\frac{a}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\rfloor\\ \lceil\frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor+1}\rceil\le y\le \lfloor\frac{b}{\lfloor \frac{n}{k}\rfloor}\rfloor \end{cases} {⌈⌊kn⌋+1a⌉≤x≤⌊⌊kn⌋a⌋⌈⌊kn⌋+1b⌉≤y≤⌊⌊kn⌋b⌋
看到这个我们就想到了数论分块，因为 ⌊ n k ⌋ \lfloor \frac{n}{k}\rfloor ⌊kn⌋ 最多只有 2 n 2\sqrt n 2n 个取值，枚举 t = ⌊ n k ⌋ t=\lfloor \frac{n}{k}\rfloor t=⌊kn⌋ 得到 k k k 的取值 [ l , r ] [l,r] [l,r]
我们可以得到:
{ ⌈ a t + 1 ⌉ ≤ x ≤ ⌊ a t ⌋ ⌈ b t + 1 ⌉ ≤ y ≤ ⌊ b t ⌋ \begin{cases} \lceil\frac{a}{t+1}\rceil\le x\le \lfloor\frac{a}{t}\rfloor\\ \lceil\frac{b}{t+1}\rceil\le y\le \lfloor\frac{b}{t}\rfloor \end{cases} {⌈t+1a⌉≤x≤⌊ta⌋⌈t+1b⌉≤y≤⌊tb⌋
{ x ∈ [ ⌈ a t + 1 ⌉ , ⌊ a t ⌋ ] y ∈ [ ⌈ b t + 1 ⌉ , ⌊ b t ⌋ ] \begin{cases} x\in[\lceil\frac{a}{t+1}\rceil, \lfloor\frac{a}{t}\rfloor]\\ y\in[\lceil\frac{b}{t+1}\rceil, \lfloor\frac{b}{t}\rfloor] \end{cases} {x∈[⌈t+1a⌉,⌊ta⌋]y∈[⌈t+1b⌉,⌊tb⌋]
此时 x + y = k x+y=k x+y=k 且 k ∈ [ l , r ] k\in[l,r] k∈[l,r]
于是 k ∈ [ ⌈ a t + 1 ⌉ + ⌈ b t + 1 ⌉ , ⌊ a t ⌋ + ⌊ b t ⌋ ] k\in[\lceil\frac{a}{t+1}\rceil+\lceil\frac{b}{t+1}\rceil,\lfloor\frac{a}{t}\rfloor+\lfloor\frac{b}{t}\rfloor] k∈[⌈t+1a⌉+⌈t+1b⌉,⌊ta⌋+⌊tb⌋]
于是满足区间合法的情况下求交即是对答案的贡献
注意数论分块写法
代码
#include