《数据结构》 ☞ 生成树

生成树：所有顶点均由边连接在一起，但不存在回路的树

一个图可以有许多课不同的生成树

所有生成树具有以下共同特点：

    生成树的顶点个数与图的顶点个数相同

    生成树是图的极小连通子图，去掉一条边则非连通

    一个有n个顶点的连通图的生成树有n-1条边

    在生成树中再加一条边必然形成回路

    生成树中任意两个顶点间的路径是唯一的

无向图的生成树

利用图的深度优先遍历 生成深度优先生成树

利用图的广度优先遍历 生成广度优先生成树

最小生成树

最小生成树的典型用途

☞ 欲在n个城市间建立通信网，则n个城市应铺n-1条线路

☞ 但因为每条线路都会有对应的经济成本，而n个城市最多有n(n-1)/2条线路，那么，如何选择n-1条线路，使总费用最少？

数学模型： 顶点--表示城市 有n个

                   边 - 表示线路，有n-1条

                   边的权值 - 表示线路的经济代价

                   连通网 -  表示n个城市间通信网 

MST - Minimum Spanning Tree 最小生成树

MST性质：设N=(V,E)是一个连通网，U是顶点集V的一个非空子集，若边（u，v）是一条具有最小权值的边，其中u∈U，v∈V-U，则必存在一颗包含边（u,v）的最小生成树。

构造最小生成树，最小生成树可能不唯一

（一）普里姆Prim算法

思想：

☞设N=(V,E)是连通网，TE是N上最小生成树的边的集合

☞初始令U={u0}（u0∈V），TE={}

☞ 在所有的u∈U，v∈V-U的边（u,v）∈E中，找一条代价最小的边（u0,v0）

☞将（u0,v0）并入集合TE,同时v0并入U0

☞重复上述操作直至U=V为止，则T=(V,TE)为N的最小生成树

（二）克鲁斯卡尔Kruskal算法（贪心算法）

思想：

☞ 设连通网N=(V,E)，令最小生成树初始状态为只有n个顶点而无边的非连通图T=(V,{})，每个顶点自成一个连通分量

☞ 在E中选取代价最小的边，若该边依附的顶点落在T中不同的连通分量上（即：不能形成环），则将此边加入到T中；否则，舍去此边，选取下一条代价最小的边

☞ 依次类推，直至T中所有顶点都在同一连通分量上为止

prim与Kruskal两种算法的比较

普里姆：选择点，时间复杂度O（n^2）n为顶点数，适用于稠密图（不论稀疏与否，每个点都要与其他点的距离都要计算，所以Pime更适合稠密图）

克鲁斯卡尔：选择边、时间复杂度O（eloge）（e为边数），适用于稀疏图。