凸多边形最优三角剖分（动态规划）

题目描述：

用多边形顶点的逆时针序列表示凸多边形，即P={v0,v1,…,vn-1}表示具有n条边的凸多边形。

    

给定凸多边形P，以及定义在由多边形的边和弦组成的三角形上的权函数w。要求确定该凸多边形的三角剖分，

使得即该三角剖分中诸三角形上权之和为最小。

解题思路：

　　

若凸(n+1)边形P={v0,v1,…,vn-1}的最优三角剖分T包含三角形v0vkvn，1≤k≤n-1，则T的权为3个部分权的和：三角形v0vkvn的权，子多边形{v0,v1,…,vk}和{vk,vk+1,…,vn}的权之和。可以断言，由T所确定的这2个子多边形的三角剖分也是最优的。因为若有{v0,v1,…,vk}或{vk,vk+1,…,vn}的更小权的三角剖分将导致T不是最优三角剖分的矛盾。

那么我们定义一个t[i][j]，1<=i<=j<=N,为凸子多边形{vi-1,vi,…,vj}的最优三角剖分所对应的权函数值，即其最优值。据此定义，要计算的凸(n+1)边形P的最优权值为t[1][n]。　　t[i][j]的值可以利用最优子结构性质递归地计算。当j-i≥1时，凸子多边形至少有3个顶点。由最优子结构性质，t[i][j]的值应为t[i][k]的值加上t[k+1][j]的值，再加上三角形vi-1vkvj的权值，其中i≤k≤j-1。由于在计算时还不知道k的确切位置，而k的所有可能位置只有j-i个，因此可以在这j-i个位置中选出使t[i][j]值达到最小的位置。由此，t[i][j]可递归地定义为

其实这个算法和矩阵连乘差不多，只是在矩阵连乘的算法上稍稍进行修改：

下面是代码的实现部分：

#include
#include
#include
using namespace std;
const int N=7;
int Weight(int **w,int a,int b,int c)
{
    return w[a][b] + w[b][c] + w[a][c];
}

int MinWeightTriangulation(int n,int **t,int **s,int **w)///计算最优值
{
    ///这个方法和矩阵连乘差不多，只是在矩阵连乘的基础上稍稍修改即可
    for(int i=1;i<=n;i++)///先对斜对角线进行初始化
        t[i][i]=0;
    for(int r=2;r<=n;r++)///(2,3,4,5,6....n)
       for(int i=1;i<=n-r+1;i++)///因为r=n-i+1
       {
        int j=i+r-1;
        t[i][j]=t[i][i]+t[i+1][j]+Weight(w,i-1,i,j);
        s[i][j]=i;///在i处分割，所以记录下来
        for(int k=i+1;k>w[i][j];
       }
    cout<


运行结果如下：