Harris角点检测原理分析

转自:Harris角点检测原理分析

Harris角点检测算子是于1988年由CHris Harris & Mike Stephens提出来的。在具体展开之前,不得不提一下Moravec早在1981就提出来的Moravec角点检测算子。

1.Moravec角点检测算子
        Moravec角点检测算子的思想其实特别简单,在图像上取一个W*W的“滑动窗口”,不断的移动这个窗口并检测窗口中的像素变化情况E。像素变化情况E可简单分为以下三种:A  如果在窗口中的图像是什么平坦的,那么E的变化不大。B  如果在窗口中的图像是一条边,那么在沿这条边滑动时E变化不大,而在沿垂直于这条边的方向滑动窗口时,E的变化会很大。 C  如果在窗口中的图像是一个角点时,窗口沿任何方向移动E的值都会发生很大变化。

Harris角点检测原理分析_第1张图片

上图就是对Moravec算子的形象描述。用数学语言来表示的话就是:

其中(x,y)就表示四个移动方向(1,0)(1,1)(0,1)(-1,1),E就是像素的变化值。Moravec算子对四个方向进行加权求和来确定变化的大小,然和设定阈值,来确定到底是边还是角点。

 

2.Harris角点检测算子
        Harris角点检测算子实质上就是对Moravec算子的改良和优化。在原文中,作者提出了三点Moravec算子的缺陷并且给出了改良方法:

1.  Moravec算子对方向的依赖性太强,在上文中我们可以看到,Moravec算子实际上只是移动了四个45度角的离散方向,真正优秀的检测算子应该能考虑到各个现象的移动变化情况。为此,作者采用微分的思想(这里不清楚的话可以复习下高数中的全微分):

Harris角点检测原理分析_第2张图片

其中:

所以E就可以表示为:

Harris角点检测原理分析_第3张图片

2.由于Moravec算子采用的是方形的windows,因此的E的响应比较容易受到干扰,Harris采用了一个较为平滑的窗口——高斯函数:

3.Moravec算子对边缘响应过于灵敏。为此,Harris提出了对E进行变形:

对,没错,变成了二次型,果然是大牛,更牛的还在后面!其中,

用α,β表示矩阵M的特征值,这样会产生三种情况:A  如果α,β都很小,说明高斯windows中的图像接近平坦。 B  如果一个大一个小,则表示检测到边。 C  如果α,β都很大,那么表示检测到了角点。

α,β是什么?α,β就是椭圆的长短轴的度量,什么?椭圆哪里来?椭圆就是那个二次型函数来的!下图的意思我就不详细讲解了,相信大家能懂。

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转载注:NewThinker_wei:

关于矩阵知识的一点补充:好长时间没看过线性代数的话,这一段比较难理解。可以看到M是实对称矩阵,这里简单温习一下实对称矩阵和二次型的一些知识点吧。

1. 关于特征值和特征向量:

特征值的特征向量的概念忘了就自己查吧,这里只说关键的。对于实对称矩阵M(设阶数为n),则一定有n个实特征值,每个特征值对应一组特征向量(这组向量中所有向量共线),不同特征值对应的特征向量间相互正交;(注意这里说的是实对称矩阵,不是所有的矩阵都满足这些条件)

2. 关于对角化:

对角化是指存在一个正交矩阵Q,使得  Q’MQ 能成为一个对角阵(只有对角元素非0),其中Q’是Q的转置(同时也是Q的逆,因为正交矩阵的转置就是其逆)。一个矩阵对角化后得到新矩阵的行列式和矩阵的迹(对角元素之和)均与原矩阵相同。如果M是n阶实对称矩阵,则Q中的第 j 列就是第 j 个特征值对应的一个特征向量(不同列的特征向量两两正交)。

3. 关于二次型:

对于一个n元二次多项式,f(x1,x2....xn) = ∑ ( aij*xi*xj ) ,其中 i 和 j 的求和区间均为 [1,n] ,

可将其各次的系数 aij 写成一个n*n矩阵M,由于 aij 和 aji 的对称等价关系,一般将 aij 和 aji 设为一样的值,均为 xi*xj 的系数的二分之一。这样,矩阵M就是实对称矩阵了。即二次型的矩阵默认都是实对称矩阵

4. 关于二次型的标准化(正交变换法):

二次型的标准化是指通过构造一个n阶可逆矩阵 C,使得向量 ( x1,x2...xn ) = C * (y1,y2...yn),把n维向量 x 变换成n维向量 y ,并代入f(x1,x2....xn) 后得到 g(y1,y2...yn),而后者的表达式中的二次项中不包含任何交叉二次项 yi*yj(全部都是平方项 yi^2),也即表达式g的二次型矩阵N是对角阵。用公式表示一下 f 和 g ,(下面的表达式中 x 和 y都代表向量,x' 和 y' 代表转置)

f = x' * M * x ;

g = f = x' * M * x = (Cy)' * M * (Cy) = y' * (C'MC) * y = y' * N * y  ;

因此 C‘MC = N。正交变换法,就是直接将M对角化得到N,而N中对角线的元素就是M的特征值。正交变换法中得到的 C 正好是一个正交矩阵,其每一列都是两两正交的单位向量,因此 C 的作用仅仅是将坐标轴旋转(不会有放缩)。 

OK,基础知识补充完了,再来说说Harris角点检测中的特征值是怎么回事。这里的 M 是

将M对角化后得到矩阵N,他们都是2阶矩阵,且N的对角线元素就是本文中提到的 α 和 β。

本来 E(x,y) = A*x^2 + 2*C*x*y + B*y^2 ,而将其标准后得到新的坐标 xp和yp,这时表达式中就不再含有交叉二次项,新表达式如下:

 E(x,y) = Ep (xp,yp) = α*xp^2 + β*yp^2,

我们不妨画出 Ep (xp,yp) = 1 的等高线L ,即

 α*xp^2 + β*yp^2 = 1 ,

可见这正好是(xp,yp)空间的一个椭圆,而α 和 β则分别是该椭圆长、短轴平方的倒数(或者反过来),且长短轴的方向也正好是α 和 β对应的特征向量的方向。由于(x,y)空间只是 (xp,yp)空间的旋转,没有放缩,因此等高线L在(x,y)空间也是一个全等的椭圆,只不过可能是倾斜的。

现在就能理解下面的图片中出现的几个椭圆是怎么回事了,图(a)中画的正是高度为 1 的等高线,(其他”高度“处的等高线也是椭圆,只不过长短轴的长度还要乘以一个系数)。其他的几幅图片中可以看到,“平坦”区域由于(高度)变化很慢,等高线(椭圆)就比较大;而”边缘“区域则是在一个轴向上高度变化很快,另一个与之垂直的轴向上高度变化很慢,因此一个轴很长一个轴很短;“角点”区域各个方向高度都变化剧烈,因此椭圆很小。我们人眼可以直观地看到椭圆的大小胖瘦,但如何让计算机识别这三种不同的几何特征呢?为了能区分出角点、边缘和平坦区域我们现在需要用α 和 β构造一个特征表达式,使得这个特征式在三种不同的区域有明显不同的值。一个表现还不错的特征表达式就是:

(αβ) - k(α+β)^2

表达式中的 k 的值怎么选取呢?它一般是一个远小于 1 的系数,opencv的默认推荐值是 0.04(=0.2的平方),它近似地表达了一个阈值:当椭圆短、长轴的平方之比(亦即α 和 β两个特征值之比)小于这个阈值时,认为该椭圆属于“一个轴很长一个轴很短”,即对应的点会被认为是边缘区域。

对于边缘部分,(假设较大的特征值为β)由于 β>>α且α

(αβ) - k(α+β)^2 ≈ αβ - kβ^2  <  (kβ)β - kβ^2 = 0

即边缘部分的特征值小于0 ;

对于非边缘部分,α 和 β相差不大,可认为 (α+β)^2 ≈ 4αβ,因此特征式:


(αβ) - k(α+β)^2 ≈ αβ - 4kαβ =  ( 1 - 4k ) * αβ

由于 k 远小于1,因此 1 - 4k ≈ 1,这样特征式进一步近似为:

(αβ) - k(α+β)^2 ≈  αβ

在角点区域,由于α 和 β都较大,对应的特征式的值也就很大;而在平坦区域,特征式的值则很小。


因此,三种不同区域的判别依据就是: 如果特征表达式的值为负,则属于边缘区域;如果特征表达式的值较大,则属于角点区域;如果特征表达式的值很小,则是平坦区域。

最后,由于αβ和(α+β)正好是M对角化后行列式和迹,再结合上面补充的基础知识第2条中提到的行列式和迹在对角化前后不变,就可以得到 (αβ) - k(α+β)^2 = det(M) - k*Tr(M)^2,这就是Harris检测的表达式。

转载注解完毕,下面接原文。

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Harris角点检测原理分析_第4张图片

有人又要问了,你怎么知道我检测到α,β算大还是算小?对此天才哈里斯定义了一个角点响应函数:

其中(这些都是线性代数里的知识):

我们惊喜的发现,R为正值是,检测到的是角点,R为负时检测到的是边,R很小时检测到的是平坦区域。至于他怎么想出来的,我就不得而知了......

Harris角点检测原理分析_第5张图片

 Harris角点检测算法有诸多优点:A  旋转不变性,椭圆转过一定角度但是其形状保持不变(特征值保持不变)

Harris角点检测原理分析_第6张图片

B  对于图像灰度的仿射变化具有部分的不变性,由于仅仅使用了图像的一介导数,对于图像灰度平移变化不变;对于图像灰度尺度变化不变

当然Harris也有许多不完善的地方:A  它对尺度很敏感,不具备几何尺度不变性。

Harris角点检测原理分析_第7张图片

B  提取的角点是像素级的。以至于后来又有许多牛人提出了更多更完善的检测算子,且听下回分解!

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