算法复杂度分析与最大子串问题

算法复杂度分析

算法复杂度基本定义

算法复杂度分析基于以下四条定义：

• 如果存在常数c与$n_{0}$使$N \geq n_{0} $时，有$T(N) \leq cf(N)$，则记 $T(N) = O(f(N))$
• 如果存在常数c与$n_{0}$使$N \geq n_{0} $时，有$T(N) \geq cf(N)$，则记 $T(N) = \Omega(f(N))$
• 当且仅当$T(N) = O(f(N))$且$T(N) = \Omega(f(N))$时，记$T(N) = \Theta(f(N))$
• 若$T(N) = O(f(N))$且$T(N) \neq \Theta(f(N))$时，记$T(N) = o(f(N))$

若使用比较简单（不甚准确）的表达：

• 当T(N)增长的比f(N)慢的时候，认为$T(N) = O(f(N))$
• 当T(N)增长的比f(N)快的时候，认为$T(N) = \Omega(f(N))$
• 当T(N)和f(N)一样快的时候，认为$T(N) = \Theta(f(N))$

算法复杂度分析运算

• 加法：T1(N)=O(f(x))，T2(N)=O(g(x))，则T1(N) + T2(N) = max{O(f(x)),O(g(x))}
• 乘法：同上假设，T1(N)* T2(N) = O(f(x) * g(x))

算法时间估算

时间估算中，认为每个操作花费时间为1，跳转，判断等所消耗时间可以忽略，例如

for(i = 0;i < N;i++) {
  for(j = 0;j < N;j++) {
    a += i+ j;
  }  
  b += i;
}

分析以上算法，内循环一次耗时N，外循环一次耗时$N * (N + 1) = N^{2} + N$，时间估算中忽略常数项和低次项，该算法花费时间$O(N^{2})$，由以上可以得出一些结论：

• 顺序语句：时间估算为语句中耗时最多的一条
• 判断语句：时间估算为不超过所有分支运算时间之和（与选择最耗时的一个分支相同）
• 循环语句：时间估算为循环次数的乘积（包括嵌套循环）

最大子序列问题

问题

已知一个序列，要求求和最大的连续子序列的和。例如输入-2，11，-4，13，-5，-2，输出20（11-4+13）

求解

解法一：真.暴力求解

考虑最简单直接的解法，计算出以某个数开头的所有子序列和，取出最大的值

func solution1(data []int, num int) int {
    max_sum, this_sum := 0, 0
    for i := 0; i < num; i++ {
        for j := i; j < num; j++ {
            this_sum = 0
            for k := i; k < j; k++ {
                this_sum += data[k]
            }
            if this_sum > max_sum {
                max_sum = this_sum
            }
        }
    }
    return max_sum
} //done: 1.1903458s

解法二：改进.暴力求解

考虑以上求和的部分，每改一个j（结尾位置）都要重新计算全部子序列和。其实前面的和是被重复计算了，计算下一个子序列和时只需要加上结尾的值就可以了。

func solution2(data []int) int {
    max_sum, this_sum, num := 0, 0, len(data)
    for i := 0; i < num; i++ {
        this_sum = 0
        for j := i; j < num; j++ {
            this_sum += data[j]
            if this_sum > max_sum {
                max_sum = this_sum
            }
        }
    }
    return max_sum
} // done: 1.115286s

解法三：分治法

分治法解决这个问题的方法是：找出左侧一半的最大子串，找出右侧一半的最大子串，找出跨越左右分界的最大子串（左侧终点确定，右侧起点确定），比较得最大值。

func solution3(data []int) int {
    if len(data) == 1 {
        return data[0]
    }
    split_num := int(len(data) / 2)
    // fmt.Println(split_num)
    left_max := solution3(data[:split_num])
    right_max := solution3(data[split_num:])

    mid_left_max, mid_right_max := 0, 0
    mid_left, mid_right := 0, 0
    for i := split_num; i >= 0; i-- {
        mid_left += data[i]
        if mid_left > mid_left_max {
            mid_left_max = mid_left
        }
    }
    for i := split_num + 1; i < len(data); i++ {
        mid_right += data[i]
        if mid_right > mid_right_max {
            mid_right_max = mid_right
        }
    }
    mid_max := mid_left_max + mid_right_max
    if (mid_max > left_max) && (mid_max > right_max) {
        return mid_max
    } else if left_max > right_max {
        return left_max
    } else {
        return right_max
    }
} //done: 1.1223139s

解法四：动态规划/贪心算法

该算法原理还未理解透彻，正在研究中

func solution4(data []int) int {
    max_sum, this_sum, num := 0, 0, len(data)
    for i := 0; i < num; i++ {
        this_sum += data[i]
        if this_sum < 0 {
            this_sum = 0
        } else if this_sum > max_sum {
            max_sum = this_sum
        }
    }
    return max_sum
} //done: 1.1323284s