线性代数——06 逆矩阵、列空间、秩、零空间

提出正确的问题比回答它更困难。—— 格奥尔格.康托尔

线性方程组

线性代数在几乎所有技术领域中都有所体现，并被广泛应用。一个主要的原因是，它能帮助我们求解特定的方程组，我们接下来要说的特定形式的方程组是线性方程组，它具有以下性质：

• 每个方程中，所有的未知量只有常数系数；
• 这些未知量只进行加和；

image.png

要整理这一特定的方程组，一个典型的方法是将未知量放在等号的左边，剩余的常数项放在右边，并且将同一个未知量竖直对齐，在某个未知量不出现时加入0这个系数。

image.png

你可能已经注意到了，这和矩阵向量乘法非常类似，事实上，你可以将所有的方程合并为一个向量方程，这个方程有一个包含所有常数系数的矩阵，一个包含所有未知量的向量，和它们乘积所得到的一个常数向量；我们称系数矩阵为A，包含未知量的向量为粗体的x，右侧的常数向量为v。

Nov-01-2018 16-29-59.gif

这不仅仅是将方程组写进一行的书写技巧，它还阐明了这个问题中优美的几何直观部分，矩阵A代表一种线性变换，所以求解 意味着我们去寻找一个向量 使得它在变换后与 重合。

现在这个方程的解依赖于矩阵A所代表的变换，是将空间挤压到一个平面、一条直线线或一个点等低维空间，还是保持着变换前的维数，我们将它们分为两种情况：

• A的行列式不为零；
• A的行列式为零；

Nov-01-2018 16-45-21.gif

当A的行列式不为零时，在这种情况下，有且只有一个向量与 重合，并且你可以通过逆向进行变换来找到这个向量，如同倒带一样，通过跟踪 的动向，你就能找到满足 的向量 。

Nov-01-2018 16-54-04.gif

当你逆向进行变换时，它实际上对应了另一个线性变换，通常称为“A的逆”，记为 ，比如说A是向右的剪切变换，将j帽向右移动一个单位，A的逆就是向左的剪切变换，将j帽向左移动一个单位。

image.png

总的来说，A逆是满足以下性质的唯一变换：
首先应用A代表的变换，再应用A逆代表的变换，你将回到原始状态；两个变换相继作用在代数上体现为矩阵乘法，所以A逆的核心性质在于，A逆乘以A等于一个“什么也不做”的矩阵，这个“什么也不做”的变换被称为“恒等变换”，它保持i帽和j帽不变，所以它的列就是 (1, 0) 和 (0, 1) 。

对于上面的求解过程就变成了 ，问题变成了求解一个A的逆，然后和向量 做乘法。而求解一个矩阵的逆，你通常也不需要自己手动去计算，甚至矩阵向量的乘法也不用，交给计算机就行了，还是那句话，你只需要理解其含义就行了。

随机选择一个矩阵，大部分情况下其行列式是非零的，也就是说，对于大部分线性方程组，几乎可以确定它存在唯一解。只要变换不将空间压缩到一个更低的维度上，也就是它的行列式不为零，那他就存在逆变换，使得应用A变换再应用A逆变换之后，结果与恒等变换无异；要求解方程，只需要将A逆和向量 即可；

但是当行列式为零时，与这个方程组相关的变换将空间压缩到了更低的维度上，此时没有逆变换，就以二维空间举例，当变换把空间压缩成一条直线后，你是不能将一条直线“解压缩”为一个平面的，这样会要求将一个单独的向量变换为一整条线的向量，但是函数只能将一个输入变换为一个输出。说白了，有可能某个变换A把N维空间压缩成一条直线，你看着这条直线找逆变换，你根本无法知道之前的空间维数N是多少。

image.png

即便不存在逆变换，解仍然可能存在，比如说一个变换将空间压缩为一条直线，如果向量v恰好处于这条直线上，那么就有解。

秩

当变换使得空间的维数减少哪怕一个维度，变换的行列式都为零，这样体现不出到底减少了多少个维度，所以我们引入新的概念：秩。秩代表着变换后空间的维数。

列空间

image.png

不管是一条直线、一个平面还是三维空间等，所有可能的变换结果的集合，被称为矩阵的列空间。

矩阵的列表示着基向量变换后的位置，这些变换后的基向量张成的空间就是所有可能的变换结果，换句话说，列空间就是矩阵的列所张成的空间。所以秩的更精确定义是列空间的维数。

当秩达到最大值时，意味着秩与列数相等，我们称之为“满秩”。需要注意的是，零向量一定被包含在列空间中，因为线性变换必须保持原点位置不变，对一个满秩变换来说，唯一能在变换后落在原点的就是零向量自身，但是对于一个非满秩的矩阵来说，它将空间压缩到一个更低的维度上，就会有一系列的向量在变换后成为零向量。

零空间

Nov-01-2018 18-10-08.gif

在变换后落在原点的向量集合，被称为所选矩阵的“零空间”或“核”，变换后一些向量落在零向量上，从这个意义上说，零空间就是这些向量所构成的空间，对线性方程组来说，当向量v恰好为零向量时，零空间给出的就是这个向量方程的所有可能解。

总结

每个线性方程组都有一个线性变换与之联系，当逆变换存在时，你就能用这个逆变换求解方程组，否则，列空间的概念让我们清楚什么时候解存在，零空间的概念有助于我们理解所有可能解的集合是什么样的。