函数的凹性与次线性性

设 $f$ 在 $[0,c]$ 上连续, $f(0)=0$, 且当 $x\in (0,c)$ 时, $f''(x)<0$. 证明: 当 $0<a<b<a+b<c$ 时, $f(a+b)<f(a)+f(b)$.  

 

证明:  对固定的 $b$, 定义  $$\bex  F(x)=f(x+b)-f(x)-f(b),  \eex$$  则 $F(0)=0$,  $$\bex  F'(x)=f'(x+b)-f'(x)=f''(\xi_x)b<0.  \eex$$  于是 $F$ 递减, $F(a)<F(0)$.