多项式互素与空间直和

设 $f(x),g(x)$ 为数域 $\bbF$ 上的多项式, 且有 $(f(x),g(x))=1$, $A$ 是 $\bbF$ 上的一方阵. 再设 $f(A)g(A)x=0$, $f(A)x=0$, $g(A)x=0$ 的解空间分别为 $W$, $V_1$ 和 $V_2$. 证明: $$\bex W=V_1\oplus V_2. \eex$$

 

证明:  由 $(f(x),g(x))=1$ 知存在多项式 $u(x),v(x)$ 使得 $$\bex u(x)f(x)+v(x)g(x)=1. \eex$$ 于是对 $\forall\ \alpha\in W$, $$\bex \alpha=v(A)g(A)\alpha+u(A)f(A)\alpha. \eex$$ 由 $$\bex f(A)[v(A)g(A)\alpha]=0,\quad g(A)[u(A)f(A)\alpha]=0 \eex$$ 知 $$\bex v(A)g(A)\alpha\in V_1,\quad u(A)f(A)\alpha\in V_2. \eex$$ 于是 $W=V_1+V_2$.  又由 $$\bex \alpha\in V_1\cap V_2\ra f(A)\alpha=g(A)\alpha=0\ra \alpha=u(A)f(A)\alpha+v(A)g(A)\alpha=0 \eex$$ 知 $W=V_1\oplus V_2$.