世界真的很奇妙,有些事情因为知识的问题,你无法解释,但还有一些,你了解它的一切,却也无法解释它。
你能知道多少逻辑的错误？
我们来看这样一个故事,当一个物体行进一段距离到达D，它必须先到达距离D的二分之一 ,然后是四分之一 、八分之一 、十六分之一、可以一直这样无穷地划分下去……那么？我是不是可以说,这个物体永远也到达不了D。您觉得呢?
这个问题由芝诺提出的,这就是世界上非常出名的芝诺悖论(Zeno's Paradoxes)“芝诺 (Zeno of Elea),约公元前490年于意大利半岛南部的埃利亚,古希腊数学家"。
那么,我们回到问题,如何解释呢?当时,就出现了一种所谓的芝诺困境, 在哲学上,这种观点认为，对一段有限的时空距离的无限分割可以最终完成,虽则没有最后的终点，但在总体上，却可以看成这个分割已经完成了。这种观点在哲学上叫作实无限的观点。因为无限分割已经完成,，所以物走过了所有的中点到达了终点。 另一种观点则认为，由于不存在最后一个终点，所以这种无限分割不能最后完成，它是一个永无止境的过程。这种观点叫作潜无穷。因为没有最后一个中点，所以物不能到达终点。简单地说，如果时空的无限可分是实无限，物能到达终点。如果时空的有限可分是潜无限，物不能到达终点。
然后,这悖论在数学上看，错误的原因是误用最小元原理。因为它把最小元原理( 非空集合具有最小的元素)强加到实数集合上了，这原理对于正整数集合是成立的，但对实数集合不成立。例如：并不存在最小的正数。本来就不存在最先到达的那一点(因为没有最小的正数)，这个看似违背常识，但是”存在最先到达的那个点”这个常识是错误的。我们现实中, 遇到的常常是正整数情形，这种情形的性质并不能随意推算到正实数情形。
物理上不存在无穷小概念,物理学研究的是客观世界,客观世界不存在“无穷小”的度量, 无论是时间、空间、质量、电量、力、能量,都不存在 “无穷小”只有“最小 ”。
所以，这个悖论的产生，就是把“无穷 ”或“连续性”假设，应用到了并不存在”无穷小“并不连续的实际物理问题中时所出现的偏差。这个悖论的实质就是错误地使用了数学工具。
对， 我们就聊有趣的侼论
悖论(Paradox),是表面上同一命题或推理中隐含着两个对立的结论, 这两个结论都能自圆其说。
悖论的抽象公式就是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A。
悖论是命题或推理中隐含的思维的不同层次意义(内容)和表达方式(形式)、主观和客观、主体和客体、事实和价值的混淆,是思维内容与思维形式、思维主体与思维客体、思维层次与思维对象的不对称,是思维结构、逻辑结构的不对称。悖论根源于知性认识、知性逻辑(传统逻辑)、矛盾逻辑的局限性。产生悖论的根本原因是把传统逻辑形式化、把传统逻辑普适性绝对化。悖论主要有逻辑悖论、概率悖论、几何悖论、统计悖论和时间悖论等。
悖论有多大的影响?罗素的悖论以其简单明确震动了整个数学界,造成第三次数学危机。那您觉得,影响力如何呢?既然我们都提到了伟大的数学家,罗素,提到了那著名的罗素悖论,那我们何不来聊聊呢?
伯特兰·罗素(Bertrand Russell,1872—1970),出 在威尔。 作家、哲学家、数理逻辑学家,1950诺贝尔文学奖得主。
好，我们来看这个问题。在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城。我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是,有一天,这位理发师从镜子中看见自己的胡子 长了,他本能地抓起了剃刀 ,你们看他能不能给他自己刮脸呢?
我们先来分析下这个问题，如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人 ”,他就要给自己刮脸, 如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人 ”,他就不该给自己刮脸。如此矛盾！
那么从这个问题,我们就看到了如果把每个人看成一个集合, 这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。那么，理发师宣称，他的元素都是城里不属于自身的那些集合,并且城里所有不属于自身的集合都属于他。那么他是否属于他自己?这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。反过来的变换也是成立的。
这样一个问题,打破了什么? 十九世纪下半叶,德国数学家康托尔创立了著名的集合论，而集合论成为了现代数学的基石。然而1903年，这个悖论的提出,说明了集合论是有漏洞的。在德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合论的基础理论完稿付印时, 收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现, 自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道:“ 一个科学家所碰到的最倒霉的事,莫过于是在他的工作即将完成时却发现所做的工作的基础崩溃了。”所以，就发生了第三次数学危机。
然而公理化集合论的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而较圆满地解决了第三次数学危机。至于以上的集合论、公理化集合论、数学危机，我们就不具体研讨了, 而解决方案, 大家也可以自己去深入了解。
本文作者：Garfield，现任职于点融技术部Social团队，游戏引擎 tyo Engine 及 tyo Engine Revolution作者，对尖端渲染技术拥有浓厚兴趣，曾就职于多家游戏大厂参与游戏引擎研发相关工作。