天元术

算完了开平方和开立方，瑛姑把他们拉进又一间密室：

只见那内室墙壁围成圆形，地下满铺细沙，沙上画着许多横直符号和圆圈，又写着些“太”，“天元”、“地元”、”人元”、“物元”等字。

黄老邪博学多才，闺女又聪明，所以黄蓉认得这是算经当中的“天元之术”。作者在这里特别注明了一下：

按：即今日代数中多元多次方程式，我国古代算经中早记其法，天、地、人、物四字即西方代数中X、Y、Z、W四未知数。

片刻之间，黄蓉便解出七八道题目，看得瑛姑目瞪口呆。这里的“天元之术“便是我国古人用于解方程的“天元术”。在宋代以前，古人若要解出一道三次方程，往往需要利用几何方法，需要高超的数学技巧以及大量文字说明，这是一件相当复杂的工作。宋代时，随着增乘开方法（古代一种解高次方程的算法，由《九章算术》中开方法演变而来）的发展，直接促进了列方程方面的研究，进而出现了解方程的"天元术"。1248年，金代数学家李冶在其著作《测圆海镜》、《益古演段》，以及元代数学家朱世杰的《算学启蒙下卷》《四元玉鉴》，都系统地介绍了用天元术建立二次方程。

在列方程时，首先要“立天元一为某某”，相当于现在的“设x为某某”，所以直到现在我们学习的方程式都叫做“几元几次”方程，所谓的元就是未知数，从天元术中取名而来。下图是按照天元术的方法所列方程和现代方程的对比：

天元式.jpg

现代式.jpg

早天元术中，常数项标记一“太”字（或在一次项旁边记一“元”字），“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂。方程列出后，再按增乘开方法求正实根。

小说中描述的“太”，“天元”、“地元”、”人元”、“物元”这几个字表示方程的常数项和四个未知数。不仅如此，黄蓉还说道：

天元四元之术，何足道哉？算经中共有一十九无，‘人’之上是仙，明、霄、汉、垒、层、高、上、天、‘人’之下是地、下、低、减，落、逝、泉、暗、鬼。算到第十九元，方才有点不易罢啦！

这就是说，我国古人还总结了19个未知数的方程的解法。仅仅是四元方程，我国已经比阿拉伯和欧洲国家早了400年。