不等式证明的方法探究之一：函数思想与函数单调性

一些数学问题不能单纯地以某一部分的内容去解决，要注意综合应用，有可能只是两三个地方知识点的小小综合，也有可能是更多地方知识点和思想方法的大一些的综合。

我们专门来看一下不等式与函数的简单综合应用。

单纯的探究和比较大小是非常简单的事：用假数学归纳法即可（注意只能作为单纯探究和比较大小的依据，不能作为证明不等式的依据）。

根据假数学归纳法，我们取n=2、3、4，可以发现规律：n越大，n的n+1次方增大的趋势越要比(n+1)的n次方增大的趋势猛烈。于是很容易得到：对于任意n>2，且n∈Z，都有n的n+1次方>(n+1)的n次方，自然就有2019的2020次方>2020的2019次方。

对于证明，指数幂的形式，形式不统一，但是指数和底有交叉性的形式特点，于是我们可以取自然对数ln再作商法，然后用倒数变换一下形式，从而分子分母完全统一形式为linx/x，问题就解决了。之所以用作商法而不可能用作差法，是为了分子分母完全统一形式。而之所以统一形式，当然是为了利用函数思想，求导即得函数单调性，从而问题自然得证。选择了一条解决问题的路，任何做法都有其必然性。给大家写一次详尽的证明步骤吧，任何必要的步骤都是给分点，考试时不要省略。

当然本题的证明还可以用二项式定理，注意2019的2020次方=2019×2019的2019次方=2019个2019的2019次方相加，2020的2019次方=（2019+1）的2019次方的展开多项式，k≠0时，2019∧2019＞＞C2019k2019∧(2019-k)，我就只说关键点，不过多赘述，具体的大家自己去证明一下就是。

这里我依然强调形式特点，正是指数幂的指数和底的交叉性的形式特点，直接指引我们取对数、作商法、倒数变换形式，从而统一形式，进而用函数思想，用函数单调性解决问题。形式特点是指引，函数思想是目标，对这些清晰无比，证明过程根本无需在纸上写便已了然于胸。

不等式的证明，函数思想，小小综合，秒反应得到证明。