直观感受反向传播的概念
上篇文章讲述了神经网络的反向传播算法的基本概念，现在来详细的对此算法进行一些讲解。
回忆一下神经网络的代价函数：
如果我们只考虑一个简单的只有一个输出单元的情况，即k=1，那么代价函数则变成：
直观的说，$\delta_j^(l)$项表示在第l层中第j个单元的误差。更正式的说，$\delta$的值实际上是代价函数的导数。
$$ \delta_j^(l) = \frac{\partial}{\partial z_j^(l)}cost(t) $$
由于函数的导数即是其切线的斜率，因此其切线越陡则说明计算的误差越大。每一个神经元的误差都与后面连接的神经元有关，如下图计算：
其中：
$$ \delta_2^(2) = \Theta_{12}^(2)\delta_1^(3) + \Theta_{12}^(2)\delta_1^(3) $$
$$ \delta_2^(3) = \Theta_{12}^(3)\delta_1^(4) $$
参数展开
使用神经网络时，我们处理的一组矩阵：$\Theta^(1)$,$\Theta^(2)$,$\Theta^(3)$...,为了使用最优化函数比如"fminuc()"，我们需要将所有的元素展开将其放入一个长向量中：
$$ thetaVector = [Theta1(:);Theta2(:),Theta(3);] $$
比如说如果Theta1的维度是1011,Theta2是1011,Theta3是1*11,那我们通过展开后的向量来得到原始的矩阵的话，需要如下的方法：
$$ Theta1 = reshape(thetaVector(1:110),10*11) \\ Theta2 = reshape(thetaVector(111:220),10*11) \\ Theta3 = reshape(thetaVector(221:231),1*11) \\ $$
总结的话就直接看吴恩达老师的笔记：
梯度校验
梯度校验是用来确保我们做的反向传播算法是否正确，这里假设代价函数的导数为：
$$ \frac{\partial}{\partial \Theta}J(\Theta) \approx \frac{J(\Theta+\epsilon) - J(\Theta - \epsilon)}{2\epsilon} $$
那么在多个$\theta$的矩阵，则可以得到下面近似于关于$\Theta$的导数：
$$ \frac{\partial}{\partial \Theta}J(\Theta) \approx \frac{J(\Theta_1,... \Theta_j+\epsilon,...,\Theta_n) - J(\Theta_1...,\Theta_j - \epsilon,... \Theta_n)}{2\epsilon} $$
一般取$\epsilon = 10^{-4}$比较合适，太小了会导致一些计算问题。因此我们只是在$\Theta$矩阵中加上或减去$\epsilon$，在octave中代码如下所示：
我们已经计算过deltaVector,因此计算出gradApprox后就可以判断是否gradApprox ≈ deltaVector。一旦计算出反向传播算法是准确的，就不需要再继续计算gradApprox了，因为计算gradApprox的过程是很缓慢的。
随机初始化参数
将所有的权重初始化为0不适用于神经网络,那样反向传播时，所有节点将重复更新为相同的值。因此，我们可以使用以下方法随机初始化我们的Θ矩阵的权重：
因此，这里初始化每个$\Theta_{ij}^(l)$为$[-\epsilon,\epsilon]$之间的随机值，使用上述公式保证我们得到所需的界限，相同的程序使用于所有的$\Theta$。以下代码可以用来进行实验：(Theta1,Theta2,Theta3的维度同上面一样,这里的epsilon和上面梯度校验的无关)：
Theta1 = rand(10,11) * (2*INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta2 = rand(10,11) * (2*INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
Theta3 = rand(1,11) * (2*INIT_EPSILON) - INIT_EPSILON;
总结
这里就直接使用原课程的笔记，懒得写了，写了也只是把这个翻译一遍不如直接看原版笔记。这一周的内容的确有点难度了，需要一定时间消化。
以上，为吴恩达机器学习第五周后半部分内容。