调和级数——和音乐和建筑有关的黎曼ζ函数最简形式
这两天圈子里最具爆炸性的消息，不是某某明星又出轨了，也不是某某住持又发短信了，而是海德堡获奖者论坛发了个消息，说是英国著名数学家迈克尔·阿蒂亚（Michael Atiyah）将在9月24日的论坛大会上公布一个关于黎曼猜想的“简单证明”。
吃瓜群众心里想，即便阿蒂亚是菲尔茨奖得主、也是阿尔贝奖得主，这个卫星放得也有些大吧？
这可是黎曼猜想啊！
生于80年代之前的人估计都熟悉陈景润，也熟悉“数学皇冠上的明珠”哥德巴赫猜想。哥德巴赫猜想于1742年提出，到现在已经过去了270多年，是数论中悬而未决时间最久的问题。而黎曼猜想由德国数学家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）于1859年提出，到今天也已经有159年了，虽然时间上来说不如哥德巴赫猜想长，但它和哥德巴赫猜想一样也属于数论这顶数学皇冠上的一颗明珠。在新世纪之初的1900年，“武林盟主”、德国数学家希尔伯特放眼整个数学界，在第二届国际数学家大会上提出了著名的二十三个希尔伯特问题，黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孪生素数猜想一起构成了其中的第八个问题。到今天为止，希尔伯特的二十三个问题大多数都得到了解决，但关于第八个问题中的三个猜想，人类尚未找到答案。
数学家迈克尔·阿蒂亚【1】。
至于黎曼猜想有多难，可以通过这几个逸闻体会一下。
尽管盟主一口气提出了二十三个问题，但希尔伯特本人似乎对黎曼猜想的证明最感兴趣，有传闻说希尔伯特在晚年时曾经感叹，如果他能够在沉睡一千年后再次醒来，他问世人的第一个问题就是黎曼猜想是否已经得到证明。如果阿蒂亚没有忽悠咱，那么希尔伯特只沉睡了80年不到。
在英国数学家戈弗雷·哈罗德·哈代（Godfrey Harold Hardy）生活的年代，人们往返于英国和欧陆之间只能乘坐轮船。有一次英吉利海峡风暴肆虐，哈代在他上船之前给丹麦数学家哈拉尔德·玻尔寄去了一张明信片，上面写道：我已经得到了黎曼猜想的证明。哈代后来解释说：如果真的出了意外，那么世人将不会知道他是否真的证明了黎曼猜想；黎曼猜想这么难，想必上帝也不会把这个荣誉交给他吧。吃瓜群众不得不承认，哈代这个对冲交易做得好啊！
2000年，当人类迎来又一个千年，克雷数学研究所给当时悬而未决的七个数学问题分别设立了100万美元的奖金，黎曼猜想即是其中的一个。重赏之下勇夫不少，18年后，七个千禧问题中也只有庞加莱猜想得到了解决。
那么黎曼猜想这颗数学皇冠上的明珠究竟是个什么样子？
黎曼猜想，即除去平凡零点以外，黎曼ζ函数在复平面上的其它零点的实数部分为1/2。
说完了？
完了。
说人话！
对不起，此处没有人话……
其实，黎曼ζ函数本身的数学表达并不复杂：
不过如果涉及到复数零点，那么就不是人话可以说清楚的了。
复平面上的黎曼ζ函数【2】。
我们不是民科，自然不会把那100万美元当作目标。这里，我们来看看ζ函数的一个最简单的形式，即s=1时的ζ函数形式。
对于小学高年级的孩子来说，这个式子应该是比较熟悉的，它就是著名的调和级数。
调和级数，英文中叫做harmonic series，名字来源于泛音系列，即一个振动琴弦的波长以及弦长分别为其1/2、1/3、1/4……时的波长的系列。之所以叫调和级数，想必最开始研究它的人认为这些波长的振动叠加起来发出来的声音是非常和谐和悦耳的，所以才把它冠以harmonic的名字。
不过事实上，并不是每一个泛音波长振动出来的声音都那么好听。在随后的研究中，人们发现，波长为1/2、1/3和1/4时其声音还是蛮动听的，但更短的一些波长带来的声音难以入耳。但调和级数的名字已经木已成舟，再把harmonic去掉似乎也没有必要。
在现在的音阶中，每高八度，其波长相应减半，其频率相应加倍；相反，每低八度，其波长相应加倍，而频率相应减半。以标准A音（低音la）来说，其频率为440Hz，而中音la其频率为880Hz，高音la其频率为1760Hz。
我们也知道，从do到ti，一共有7个全音音阶，再加上do-re之间、re-mi之间、fa-so之间、so-la之间和la-ti之间一共5个升调/降调半音音阶，每一个“高八度”音程一共有12个半音。在钢琴键盘上来看，就是7个白键和5个黑键。
因为每“高八度”声音的频率加倍，所以在这12个半音中，对于每一对相邻的半音，其中较高音频率是较低音频率的2的1/12次方倍，即大约1.059倍。这样使得从低音do（261.63Hz）到中音do（523.25Hz），一共经过12个半音，其频率倍数等于12个2的1/12次方相乘，即2倍。
除了音乐，调和级数还和建筑有关。
记得有人曾经用简单的语言总结过欧洲五大建筑风格的特点，说到古罗马风格的建筑，其主要特点就是拱门和圆顶。
比如面额为5欧的欧元纸币 【 3 】，其背面展示的就是古罗马风格的多拱结构桥梁。
在人类文明之初，建造拱门和圆顶这类的建筑还是很有难度的，因为跨度大、缺少直接支撑，这里面涉及的力学问题很多。在真正的拱门出现之前，人类在古希腊和玛雅时期，更多地是建造叠涩拱。在维基百科中，下图很好地解释了真拱和叠涩拱之间的区别。
左图是真拱，右图是叠涩拱【4】。可以看到，真拱的砖块是首尾相接、以弧线形式搭在一起的结构；而叠涩拱的砖块则是水平相叠，类似于在一堵砖墙中“切出”一个拱门来。
小时候玩过积木的人都知道，如果我们把一块积木叠在另一块上面，那么上面这一块积木最多能多伸出1/2的长度来。
道理很简单，上面一块积木的重心可以恰好放在下面一块积木的边缘上。
如果我们再在下面垫上一块积木，使得第1块积木重心产生的扭矩和第2块积木重心产生的扭矩相等，这时伸出来的长度为1/4。
继续来第4块积木，此时第1块和第2块积木的共同重心产生的扭矩和第3块积木重心产生的扭矩相等，因为重量比为2:1，所以距离比为1:2，即伸出来的长度为1/3x1/2=1/6。
如此下去，可以发现以最下面一块积木为基准，前面所有积木伸出来的长度之和为1/2+1/4+1/6+1/8+…，即调和级数之和的一半。
半个拱门建造完毕。
作为一个常识，大多数人早已知道，调和级数是发散的，即调和级数之和趋向于无穷大。所以假设我们手头上的积木足够多，搭积木的孩子手足够巧，那么按照上述方法一直搭下去，拱门最上面的那块积木离最下面的那块积木在水平方向上距离就可以足够远。
心有多大，舞台就有多大！
至于阿蒂亚爵士是否真的解决了黎曼猜想，是该克雷数学研究所掏出它的支票本，或者仅仅是又一个哈代式的逸闻，让我们周一见！
参考出处：
https://www.newscientist.com/article/2180406-famed-mathematician-claims-proof-of-160-year-old-riemann-hypothesis/
https://www.mnn.com/green-tech/research-innovations/stories/greatest-unsolved-problem-mathematics-may-have-been-solved
http://blog.sina.com.cn/s/blog_7f05768f0102wi4o.html
https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%8F%A0%E6%B6%A9%E6%8B%B1#/media/File:Arc_truefalserp.jpg
文/Athlon_BE
2018.9.22