SICP——构造程序抽象（五）

素数的检测

有两种方法来实现，第一种是寻找因子，思路是：用从2开始的连续整数(在这里自称为检查数)去检查它们是否整除n，根据这个定义过程：

(define (smallest-divisor n)
    (find-divisor n 2))

(define (find-divisor n test-divisor) 
    (cond ((> (square test-divisor) n) n)
           ((divides? test-divisor n) test-divisor)
           (else(find-divisor n (+ test-divisor 1)))))

(define (divides? a b)    # 检验能否整除
    ( = (remainder b a) 0)

(define (prime? n)  # 程序入口
    (= n (smallest-divisor n)))

如果检查数的平方大于n则过程返回n；如不大于则检验检查数是否能整除n，若能整除则返回该检查数，若不能则让检查数加一后进行循环。当prime?为真时n为素数(n是素数当且仅当它是自己的最小因子)

find-divisor的结束判断基于如下事实，如果n不是素数，它必然有一个小于或者等于√￣n的因子，这也意味着该算法只需在1和√￣n之间检查因子，可知该算法的增长阶为θ(√￣n)

第二种用费马检查来实现：

费马小定理：如果n是一个素数，a是小于n的任意正整数，那么a的n次方与a模n同余

思路：对于给定的整数n，随机任取一个a < n并计算出a^n取模n的余数，如果结果不等于a，那么n就肯定不是素数，如果是a，那么a是素数的机会就很大，然后再取一个随机的a并采用同样方式检查，随着检查越来越多的a值，我们就可以越来越增加确认性

# 该过程计算一个数的幂对另一个数取模的结果
(define ( expmod base exp m)
    (cond (= exp 0) 1)
          (even? exp)
          (remainder (square (exmod base ( / exp 2) m)) 
           m))
          (else
            (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) 
           m))))

# 返回随机数
(define (fermat-test n)
    (define (try-it a)
        (= (expmod a n n) a))
    (try-it (+ 1 (random (- n 1)))))

# 按照times的次数进行检查，若每次都为真，则该过程才返回真
(define (fast-prime? n times)
    (cond ((= times 0) true)
          ((fermat-test n) (fast-prime? n (- times 1)))
          (else false)))