SICP——构造程序抽象(五)

素数的检测

有两种方法来实现,第一种是寻找因子,思路是:用从2开始的连续整数(在这里自称为检查数)去检查它们是否整除n,根据这个定义过程:

(define (smallest-divisor n)
    (find-divisor n 2))

(define (find-divisor n test-divisor) 
    (cond ((> (square test-divisor) n) n)
           ((divides? test-divisor n) test-divisor)
           (else(find-divisor n (+ test-divisor 1)))))

(define (divides? a b)    # 检验能否整除
    ( = (remainder b a) 0)

(define (prime? n)  # 程序入口
    (= n (smallest-divisor n)))

如果检查数的平方大于n则过程返回n;如不大于则检验检查数是否能整除n,若能整除则返回该检查数,若不能则让检查数加一后进行循环。当prime?为真时n为素数(n是素数当且仅当它是自己的最小因子)

find-divisor的结束判断基于如下事实,如果n不是素数,它必然有一个小于或者等于√ ̄n的因子,这也意味着该算法只需在1和√ ̄n之间检查因子,可知该算法的增长阶为θ(√ ̄n)

第二种用费马检查来实现:

费马小定理:如果n是一个素数,a是小于n的任意正整数,那么a的n次方与a模n同余

思路:对于给定的整数n,随机任取一个a < n并计算出a^n取模n的余数,如果结果不等于a,那么n就肯定不是素数,如果是a,那么a是素数的机会就很大,然后再取一个随机的a并采用同样方式检查,随着检查越来越多的a值,我们就可以越来越增加确认性

# 该过程计算一个数的幂对另一个数取模的结果
(define ( expmod base exp m)
    (cond (= exp 0) 1)
          (even? exp)
          (remainder (square (exmod base ( / exp 2) m)) 
           m))
          (else
            (remainder (* base (expmod base (- exp 1) m)) 
           m))))

# 返回随机数
(define (fermat-test n)
    (define (try-it a)
        (= (expmod a n n) a))
    (try-it (+ 1 (random (- n 1)))))

# 按照times的次数进行检查,若每次都为真,则该过程才返回真
(define (fast-prime? n times)
    (cond ((= times 0) true)
          ((fermat-test n) (fast-prime? n (- times 1)))
          (else false)))

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