线性相关性
线性组合
定义：若,使则称向量为向量组的一个线性组合
也称可经向量组线性表出
n维单位向量
任一n维向量都是向量组的一个线性组合
向量称为n维单位向量
注：零向量是任一向量组的线性组合
向量组线性表出
定义：若向量组中每个向量都可经向量组线性表出,则称向量组可经向量组线性表出,若两个向量组互相可线性表出,则称它们等价
注：若向量组可经向量组线性表出,向量组可经向量组线性表出,则向量组可经向量组线性表出
证明：
向量组等价的性质：
1.自反性：每个向量组都与它自身等价
2.对称性：若向量组与等价,那向量组也与等价
3.传递性：若向量组与等价,与等价,则向量组与等价
线性相关
定义1：若向量组中有一个向量可以由其余的向量线性表出,则向量组称为线性相关的
注：任一包含零向量的向量组一定是线性相关的
定义2：若有数域P中不全为零的数使,则称向量组线性相关
注：向量构成的向量组线性相关即
证明：定义1定义2在时一致
证明：
性质：若一向量组的一部分线性相关,则这个向量组线性相关
证明：
线性无关
定义1：若没有不全为零的数使,则称向量组线性无关
定义2：若由可推出,则称向量组线性无关
注：
1.若一向量组线性无关,则它的任一非空部分组线性无关
2.n维单位向量组成的向量组线性无关
证明：
线性相关判别
判别一个向量组是否线性相关
即判别方程有无非零解
对应齐次线性方程组有无非零解
向量组线性无关的充要条件为齐次线性方程组只有零解
注：若向量组线性无关,则在每个向量上添一个分量得n+1维向量组也线性无关
定理：给定两个向量组与满足：
1.可经线性表出
2.
则线性相关
证明：
几何意义：
1.在三维空间,若s=2,可以由线性表出的向量显然在所在平面上,它们共面,时,它们线性相关,两个向量组与等价意味着它们在同一平面上
推论1：若向量组可经向量组线性表出,且线性无关,则
推论2：任意n+1个n维向量必线性相关
证明：
推论3：两个线性无关的等价向量组必含有相同个数的向量
极大线性无关组
定义：若一向量组的一个部分组是线性无关的,且从这向量组中任意添一个向量,所得的部分向量组都线性相关,则称该部分组为极大线性无关组
注：
1.一个线性无关向量组的极大线性无关组就是这个向量组本身
2.向量组的极大线性无关组不是唯一的
3.一向量组的任意两个极大线性无关组都是等价的
4.含非零向量的向量组一定有极大线性无关组,且任一无关的部分组都可扩充成一个极大线性无关组
5.全部由零向量组成的向量组没有极大线性无关组
性质：任意一个极大线性无关组与向量组本身等价
证明：
定理：一向量组的极大无关组都含有相同个数的向量
向量组的秩
定义：向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为这个向量组的秩
注：
1.一向量组线性无关的充要条件为它的秩与它所含向量个数相同
2.等价的向量组必有相同的秩
3.全部由零向量组成的向量组秩为零
方程组与向量
给定方程组
各个方程所对应的向量分别为,,,
设方程
对应向量为
则是的线性组合当且仅当
即方程是方程的线性组合,显然方程组的解一定满足
设方程组
各个方程所对应的向量分别为
若可经线性表出,则方程组的解是方程组的解
当与等价时两个方程组同解