动态规划: Subset Sum

这次我想给大家分享的内容是动态规划Subset Sum (子集之和)问题 。其实挺枯燥的，涉及到的是数学和编程方面的内容，如果不感兴趣请直接退出阅读。

本文概要:

• Subset Sum 问题描述
• 问题求解思路
• 递归法求解
• 重点：动态规划法求解

Subset Sum 问题

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假设有一串 { 1,2, 4,5,6} , 是否存在任意数字之和为 7 ， 55 。
通过目测 { 1, 2,4} {5, 2} 之和为7，所以答案为存在，因为所有元素之和小于55，所以答案为不存在。

问题:

假设有一个非负整数的集合 Set ,求是否存在一个组合使得其中任意元素之和为一个给定的整数 sum ？

A = { X1,X2,....Xn}, sum = Y
subset(A,Y) = True or False ?

求解思路

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1. 我们立马能想到第一个方法是先求解集合A 所有的排列组合，一共有2的5次方种可能，然后逐一对组合求和判断是否等于6。这种思路属于暴利求解法，当集合元素非常多的时候，计算时间会指数级增长，该算法的时间复杂度为O(2^n)。

2. 第二种求解方法的思想是 把大事化小，小事化无的。

如： A = { 1,2, 4,5,6} 可以简化为 { 2, 4,5,6 } 这个子集合元素是否有sum = 6 的解，或者{ 2, 4,5,6 } 是否存在相加之和为5 的解 。依次类推可以将问题一层一层缩小，利用上篇文章提到的递归思想。

递归求解法

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arr  = [1,2 ,4,5,6]

def  subset(arr , i , s):
    if i == 0:
        return s == arr[0]
    elif s == 0:
        return True
    elif arr[i] > s :
        return rec_subset(arr, i-1 , s)
    else:
        A =  subset(arr , i-1 ,s - arr[i])
        B =  subset(arr, i-1 , s)
        return A or B
    
print( subset(arr ,len(arr )-1, 7))
out: True

通过递归方式来求解必须遍历所有的子问题，但其中子问题有重叠的部分，也就是说存在重复计算的情况，算法时间复杂度为O(2^n)。对于规模比较大的问题这是无法容忍的。接下来通过动态规划的方法 ，来避免重复计算来优化程序的性能。

动态规划求解法

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动态规划是从下往上(bottom-up)的求解方法，并且把中间结果缓存起来避免重复计算。
例如：把{ 1,2, 4,5,6} 分解成 空集 0 { } ,1 { 1 } ，2 { 1,2 } ,3 { 1,2, 4 }, ,4 { 1,2, 4,5 } ,5 { 1,2, 4,5,6} 分别来计算，具体流程如下。

1. 构建一个二维数组Subset[i,j] 来存放子集合相加和的所有可能情况，True（以下记为T）表示存在解，False(以下记为F)表示不存在解。

step1

如图1: 行为子集相加为0-7所有的情况，列为0-5个元素的所有情况。
第一行表示： 除了第一列为0存在解标记为T 之外，其余1-7都为 F 。

第一列表示：各个子集相加之和为0的情况。例如 {1 } 的情况显然如果 不取元素1 空集{}之和存在0的解，类似{1，2} 也有存在0的解，因此第一列都为T。

第二行第二列：表示{1} 之和为1，显然为T 。

第二行其余列：因为最大为1，所以余下都为F。

step2

中间任意一个格子计算方法，分两种情况。

如果格子上方为T，当前格子也为T。实际意义为：当前集合的子集如果有解那么，当前集合也有解，如{1，2，4} 之和3的情况，因为 {1，2} 存在之和为3的解。
因此得出结论，只要T下方的格子都可以设置为T。

如果格子上方为F, 则求 sum - A 余下子集合的解。例如上图绿色标记的位置 Subset[2,4] , 可以简化为求解 { 1 } 是否有 1的解，查表值为T，当前表格值则 为T。

用此算法，把表格填满。

step3

表格最后一个元素就是 { 1,2, 4,5,6} 是否存在子集合之和为7 这个问题的解。

具体的代码实现:

import numpy as np

def dp_subset(arr,S):
    
    subset = np.zeros((len(arr),S+1),dtype=bool) #构造二维数组
    subset[:,0] = True # 第一列 设为True
    subset[0,: ] = False #第一列 设为 False
    subset[0,arr[0]] = True
    
    for i in range(1,len(arr)):
        for s in range(1, S+1):
            if arr[i] > s:
                subset[i , s] = subset[i-1 , s]
            else:
                A = subset[i-1 , s ]
                B = subset[i-1 , s - arr[i]]
                subset[i,s] = A or B
                
                
    row ,cell = subset.shape
    return subset[row-1,cell-1]
            
arr  = [1,2, 4,5,6]            
dp_subset(arr,7) 
out:True

参考

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1. 视频讲解动态规划

2. Dynamic Programming – Subset Sum Problem

3. Algorithm/Insights