基本算法——BFPRT线性查找算法

    BFPRT算法解决的问题十分经典，即从某n个元素的序列中选出第k大（第k小）的元素，通过巧妙的分 析，BFPRT可以保证在最坏情况下仍为线性时间复杂度。该算法的思想与快速排序思想相似，当然，为使得算法在最坏情况下，依然能达到o(n)的时间复杂 度，五位算法作者做了精妙的处理。

算法步骤：

1. 将n个元素每5个一组，分成n/5(上界)组。

2. 取出每一组的中位数，任意排序方法，比如插入排序。

3. 递归的调用selection算法查找上一步中所有中位数的中位数，设为x，偶数个中位数的情况下设定为选取中间小的一个。

4. 用x来分割数组，设小于等于x的个数为k，大于x的个数即为n-k。

5. 若i==k，返回x；若ik，在大于x的元素中递归查找第i-k小的元素。

终止条件：n=1时，返回的即是i小元素。

如上图所示，在第一步分出的所有组中，除了中位数的中位数（称为x）本身所在的组和元素少于5的组外，位于x后面的组，每组比x大或者等于的元素个数为3，而在所有的中位数中，大于或等于x的中位数至少一半，所以不算那两组，比x大或者等于的数至少有： 

3{[1/2*(n/5)]-2} >= 3n/10-6

类似地，至少有3n/10 - 6个元素少于或等于x，因此，在最坏的情况下，第5步中，算法的递归调用最多作用域7n/10 + 6个元素。 

假设算法的最坏情况的运行时间为T(n)，步骤1、2、4需要O(n)的时间。（步骤2是对大小为O(1)的集合调用O(n)次快速排序。）步骤3所需要时间为T((n/5))，步骤5所需时间最多为T(7n/10 + 6)。假设T是单调递增的，得到如下递归式

证明对某个适当大的常数c和所有的n>0，有T(n)<=cn，以证明算法的运行时间是线性的。首先，假设对某个适当大的常数c和所有的n<140，有T(n)<=cn，如果c足够大，这个假设显然是成立的。同时，还要挑选一个常数a，使得对所有的n>0，上述公式中的O(n)项所对应的函数(用来描述算法运行时间中的非递归部分)有上界an。将这个归纳假设代入上述递归式的右边，得到： 

如果下式成立，上式最多是cn： 

当n>70时，上述不定式等价于不等式c >= 10a(n/(n-70))。因为假设n>=140，所以有n/(n-70)<=2。因此，选择c>=20a就能够满足不等式-cn/10+7c+an<=0。（注意，这里常数140并没有什么特别之处，我们可以用任何严格大于70的整数来替换它，然后再相应地选择c即可。）因此，最坏情况下算法的运行时间是线性的。 

参考 https://blog.csdn.net/maijia0754/article/details/77947167