群的轨道和稳定子

群作用在一个集合上其实就是对于群中的每一个元素都对应这这个集合自身的一个置换，只不过这个对应关系是和群结构相容的。比如g，h是群中两个元素，它们分别在集合上的置换的复合，要等于gh这个元素在集合上的置换。

理解了这一点之后就不难看出如下定理成立：

设X是n个元素构成的有限集，则群G在X上的作用与G到置换群Sn的群同态一一对应。

所以可以发现有限群在有限集上的作用是有限的。（好绕。。）
下面我们把群G作用的集合X叫做G-set，对于X中的两个元素x,y，如果存在G中的元素g，使得gx=y，那么我们就称它们在同一个轨道中。你可以直观的想象成在x,y同一个轨道中，就是用一条线将它们连在了一起，g就是这条线，于是集合X中的元素都可以通过这样的“线”彼此相连，或者不相连，不严谨地说，这些被连在一起的元素全体，就是X的一条轨道。将x所在的轨道记为Gx

于是可以发现

X在群作用下，被分成了若干条轨道，并且每条轨道都不相交。

如果X内只有一条轨道，那么我们就称X是可迁的。由上面的结论就可以发现，我们要研究G-set，只用研究可迁的就可以。
显然，我们不区别同构的G-set，两个G-set同构的意思是它们之间存在保持群作用的双射。
下面我们来讨论稳定化子。定义X中元素x的稳定化子为S(x)={g|gx=x,g belongs to G}。显然这是G的一个子群，对于稳定化子，我们有如下重要的结论（自己可以验证）：

即同一个轨道中的元素的稳定化子都是共轭的，这个事实其实就是在告诉我们G-set X应该和G自然作用在商群G/S(x)是同构的。同构映射为：

（这里其实不是那么显然，并且能把二者联系在一起需要对这部分知识有一定理解，如果一开始无法理解，可以把稳定化子是共轭的和同构当做两个结论记住，并直接使用就可以。）这样我们就弄清楚了所有可迁的G-set都同构于G自然作用于其一个商群。而对于一般的G-set，它都是一些可迁的G-set的并。这里不妨想一想有限群G能否可迁的作用于一个无限集合上。由上面结论，我们就可以得到轨道长度、稳定化子的阶和群G的阶的关系。现在我们来说一下群作用有什么用。一般而言，对于不同的目的，我们会选取特殊的群作用来达到。最常见的就是共轭作用于自己本身，这时群中一个元素的稳定化子就是其自己的中心，常见的还有题主提到的作用于自己的左乘右乘。举一个群作用应用的例子。我们来证明A5是单群，让其共轭作用于自己，则每一个轨道是它的一个共轭类，我们可以直接计算出每个轨道的长度，注意到一个群的正规子群必然是这个群的一些共轭类的并，所以如果A5有正规子群，那么这个正规子群的阶一定是某几条轨道的长度的和，同时还要是A5的阶的因子。而我们任取若干条轨道，它们的长度和都不能整除A5的阶，所以A5没有正规子群。证明A5没有正规子群还可以直接算，这里举这个例子只是说明群作用可以如何应用。我记得当时我看到过万有覆盖空间的存在性的一个证明也是用的群作用，不过具体的我忘了。。。再比如我们可以用群作用来定义群代数上的模，群G在K向量空间上的线性作用和KG模是一一对应的，K是一个域。最后，关于西罗定理，这个定理我感觉它的证明没啥意义。。。没啥意义的意思就是说，后面的学习中没有用到它的证明中的想法（至少目前我没有遇到。。），所以我的建议是记住会用就可以了，其证明看过一遍弄懂就可以了（这句话是说我早忘怎么证明了。。）