线性求逆元的算法

本文介绍\(O(n)\)处理\([1, n]\)在模\(P\)意义下的逆元的方法。

结论

\[inv_i \equiv -\lfloor \frac{P}{i} \rfloor * inv_{(P \bmod i)} \pmod P\]

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证明

现在要求\(i\)的逆元：

设\(a = \lfloor \frac{P}{i} \rfloor， b = P \bmod i\)，则

\[a * i + b \equiv 0 \pmod P\]
\[-a * i \equiv b \pmod P\]

等式两边同除\(i * b\)得

\[-a * inv[b] = inv[i]\]

将\(a = \lfloor \frac{P}{i} \rfloor， b = P \bmod i\)代入上式得

\[inv_i \equiv -\lfloor \frac{P}{i} \rfloor * inv_{(P \bmod i)} \pmod P\]