1、线性函数

初等数学：

在初等数学和解析几何中线性函数是只拥有一个变量的一阶多项式函数，又或者是常数函数。因为，采用直角坐标系，这些函数的图象是直线，所以，这些函数是线性的。要注意的是，与x轴垂直的直线不是线性函数。（因为输入值不对应唯一输出值，所以它不符合函数的定义）

高等数学：

设V 是一个非空集合，K 是一个数域。在V 上定义了一种加法运算“+”，即对V 中任
意的两个元素α与β，总存在V中唯一的元素γ与之对应，记为γ =α +β;在数域K和
V 的元素之间定义了一种运算，称为数乘，即对K 中的任意数k 与V 中任意一个元素α ，在V 中存在唯一的一个元素δ 与它们对应，记为δ=kα 。如果上述加法和数乘满足下列运算规则，则称V 是数域 K 上的一个线性空间。
(1) 加法交换律:α + β=β+α ;
(2) 加法结合律:(α+β)+γ=α+(β+γ);
(3) 在V中存在一个元素0，对于V中的任一元素α，都有α+0=α;
(4) 对于V中的任一元素α，存在元素β，使α+β=0;
(5) 1⋅α=α;
(6) k(α+β)=kα+kβ，k∈K;
(7) (k+l)α=kα+lβ, k,l∈K;
(8) k (lα )=(kl )α ，
其中α,β,γ 是V 中的任意元素，k,l是数域K 中任意数。V 中适合(3)的元素0称为零元素;适合(4)的元素 β 称为 α 的负元素，记为 − α 。