第六次作业

本次计算物理为物理摆的混沌，选择了课本习题第3.10题，并有一些拓展

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迭代公式：

之后的所有绘图步长皆为dt=0.04s

一，几个典型值下theta和omega的变化图：

1，无阻尼和驱动时theta与omega的变化：

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2，有阻尼而无驱动时theta与omega的变化：

3，有阻尼有驱动时theta与omega的变化：

Fd=0.2时：

Fd=1.2时：

二，绘出几个不同值下theta和omega变化图：

1，几个不同的驱动力下，theta随时间的变化，进行了1000步运算：

因为将theta限制在-Pi到Pi范围内的原因，使得theta的图像发生了突变

取消theta的角度限制后，绘图有:

2，几个不同的驱动力下，omega随时间的变化：

3，几个不同的驱动力下，omega随theta的变化：

theta限制在-Pi到Pi范围内时：

取消theta限制有：

可见因为theta超出范围而直接将其值消减或增加到要求的范围内，使得theta值发生突变，进而使theta-omega图也发生突变而不连续光滑，取消了theta取值的限制之后，theta-omega图变得连续光滑。

三，绘出Fd=1.2下theta-omega图，探究混沌效应：

1,1000步运算（dt仍为0.04s，theta初始值0.2弧度）：

2,6000步运算：

3,10000步运算：

为更明显地探究和显示混沌效应，之后的绘图减少线条数

初始theta分别取0.2和0.3时的theta-omega图：

10000步迭代

初始theta分别取0.2和0.21时的theta-omega图（3000步迭代）：

可以看到此时虽然初始值差别不大甚至差别很小，但当迭代发展到一定程度，二者的theta-omega图已经完全没有相似可言，混沌效应已明显可见。上面两图均为将theta限制。

初始theta分别取0.2和0.21时的theta-omega图（3000步迭代），对theta限制之后有：

单独绘出theta=0.2的theta-omega图

为使结论更明显，现选取theta=0.200和0.201绘图：

未限制纠正theta范围（7000步迭代）

限制并纠正theta范围（3000步迭代）

此时可见初值改变极小的情况下，引起后期演化的巨大差异，由图可见，迭代步数的前期二者差异不大，但积累发展到一定程度，二者走向了完全不同的演化路径，即为明显的混沌效应。

四，总结

由以上绘图明显可观察到混沌效应的存在，在其它初始条件保持为相同的条件下，仅仅对初始释放角度theta的值做一个微小的扰动，物理摆系统的后期行为就发生了非常大的改变，甚至可以说是发生了完全不同的演化，可见混沌效应在此系统中的明显存在，也告诉我们对于一个有混沌效应的系统，初值的准确选取对于结果的影响非常大，应该谨慎操作。