【cf961G】G. Partitions（组合意义+第二类斯特林数）

传送门

题意：
给出\(n\)个元素，每个元素有价值\(w_i\)。现在要对这\(n\)个元素进行划分，共划分为\(k\)组。每一组的价值为\(|S|\sum_{i=0}^{|S|}w_i\)。
最后询问所有划分的总价值。

思路：
直接枚举划分不好计算，考虑单独计算每一个元素的贡献，那么就有式子：
\[ \sum_{i=1}^nw_i\sum_{j=1}^{n-k+1}{n-1\choose j-1}\begin{Bmatrix} n - j \\ k - 1 \end{Bmatrix}j \]
观察这个式子，前面的求和式直接单独计算，后面枚举的上界则可以修改为\(n\)。那么就有：
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^n{n-1\choose i-1}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}i \end{aligned} \]
接下来，就是表演的时刻了。
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^n{n-1\choose i-1}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}(i-1+1)\\ =&\sum_{i=0}^n \frac{(n-1)!}{(i-1)!(n-i)!}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}(i-1)+\sum_{i=0}^n{n-1\choose i-1}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}\\ =&(n-1)\sum_{i=0}^n {n-2\choose i-2}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}+\sum_{i=0}^n{n-1\choose i-1}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}\\ =&(n-1)\sum_{i=0}^n {n-2\choose n-i}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix}+\sum_{i=0}^n{n-1\choose n-i}\begin{Bmatrix} n - i \\ k - 1 \end{Bmatrix} \end{aligned} \]
然后我们现在就是要求这样一个式子：
\[ \sum_{i=0}^n{n\choose i}\begin{Bmatrix} i \\ k - 1 \end{Bmatrix} \]
我们考虑将第二类斯特林数拆开：
\[ \begin{aligned} &\sum_{i=0}^n{n\choose i}\begin{Bmatrix} i \\ k - 1 \end{Bmatrix}\\ =&\sum_{i=0}^n{n\choose i}\frac{1}{(k-1)!}\sum_{j=0}^{k-1}(-1)^j{k-1\choose j}(k-1-j)^i\\ =&\sum_{j=0}^n\frac{1}{(k-1)!}(-1)^j{k-1\choose j}\sum_{i=0}^n{n\choose i}(k-1-j)^i\\ =&\sum_{j=0}^n\frac{1}{(k-1)!}(-1)^j{k-1\choose j}(k-j)^n \end{aligned} \]
然后就没了。
整个推导过程第一个关键点是拆\(i\)，可能是因为这个\(i\)比较烦，所以将其拆开与前面式子合并。
第二个关键就是利用好组合意义，后面和式的意义就是将元素装入\(k-1-j\)个盒子的方案数，有些元素可能一个盒子都不加入。那么对于每个元素而言，就有\(k-j\)种选择，所以可以直接把和式化简。
然后随便搞一下就行。

还有一种更加精妙的思路，我们还是单独考虑每一个元素，但是当考虑\(i\)这个元素时，若\(j\)和\(i\)在同一个集合中，\(j\)对\(i\)有\(w_i\)的贡献。
那么对一个元素而言分两种情况考虑，一个是自己对自己的贡献，显然方案数有\(\begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}\)；另一个是其它元素对它的贡献，那么考虑将这个元素加入其它元素中（不可能自己单独一个集合），方案数为\((n-1)\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix}\)。
那么最终一个元素的答案就为：
\[ \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix}+(n-1)\begin{Bmatrix} n-1 \\ k \end{Bmatrix} \]
这个式子随便搞搞就行了。
代码如下（代码为第一种解法）：

/*
 * Author:  heyuhhh
 * Created Time:  2019/12/12 17:06:20
 */
#include 
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