数理方程中的Fourier变换和Laplace变换

笔者刚学《数理方程》不久，本文以巩固自身学习和共享交流探讨为目的，有不对的地方欢迎交流批评指正。
为了内容不过于繁杂（打字太累），主要以思路为主，不保证绝对严谨，请谅解。

本文目录

Laplace变换的由来
傅里叶变换的性质
一个例子：傅里叶变换解热传导方程柯西问题
Laplace变换简介
傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别
其他注记

Laplace变换的由来

在数学分析中，已学过周期函数可以展开成三角函数的级数（即傅里叶级数），不妨设f(x)以2T为周期，则在(-T,T]上的展开为：
现在，我们希望得到一个对于一般函数（以一维为例，定义域为R）的类似的展开式。
若满足条件：在任意有限区间上分段光滑且在R上绝对可积（此条件为一个函数傅里叶变换存在的充分条件），则可将傅里叶展开中的级数求和部分写成积分：
（上式的正确性证明略过）
将a和b代入f，并将三角函数部分合并，得到傅里叶积分公式：
再由欧拉公式，有
由sin部分对是奇函数，积分为0，cos部分是偶函数，因此傅里叶积分公式可用e表示为：
可令则以上两式分别为傅里叶变换和傅里叶逆变换。

傅里叶变换的性质

（证明略，由定义即可证明）

线性性质
微分性质（将微分运算变为代数运算，可使偏微分方程变常微分方程）
乘多项式
卷积性质（第二条常用于求傅里叶逆变换）

一个例子：傅里叶变换解热传导方程柯西问题

热传导方程柯西问题：
用表示u和f关于变量x的傅里叶变换，即对方程的第一行两边关于x作傅里叶变换，并利用微分性质，有
对方程的第二行（初始条件）也作傅里叶变换，得
得到了一个（可解的）含参量的常微分方程。
常微分方程的解为
再做傅里叶逆变换，得原方程的解：
$u(x,t) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi t}} \int_{-\infty} ^{ + \infty} \varphi ( \xi) e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4 a^2 t}} d\xi + \frac{1}{2a\sqrt{\pi}} \int_0^t d\tau \int_{-\infty}^{ + \infty } \frac{f( \xi, \tau)}{ \sqrt{ t - \tau }} e^{-\frac{(x - \xi)^2}{4 a^2 (t - \tau)}} d\xi$ 以上就是应用傅里叶变换解偏微分方程的过程。

Laplace变换简介

因为与傅里叶变换类似，直接给出
拉普拉斯变换的公式：拉普拉斯变换存在的条件：f在内分段光滑且收敛。
拉普拉斯变换的性质：

微分性质
卷积性质
积分性质（由微分性质推广）

傅里叶变换与拉普拉斯变换的区别

变换后的积分区间不同，傅里叶变换对R积分，拉普拉斯变换只对正半轴积分。
变换的存在条件不同。拉普拉斯变换的条件较为苛刻。
性质有些许区别。比如说微分性质，傅里叶变换比拉普拉斯变换更加漂亮、干净，这是由于存在条件苛刻带来的好处。

由于这些区别，我们应灵活选用不同变换处理不同情况。

其他注记

限于篇幅不举更多例子了，直接说一些需要注意的地方。
傅里叶变换和拉普拉斯变换是解决偏微分方程的重要方法，尤其对于定义域为和的问题。变换方法不仅可用于热传导方程，对其他种类、高阶的方程同样适用。
在使用的时候，我们需要考虑：对哪个变量做变换（x或t）、做什么变换，这些需要根据问题的条件具体考虑。比如，如果对我们的例子（热传导方程柯西问题）对t做拉普拉斯变换，就会得到
由于拉普拉斯变换的微分性质，原方程的两个等式在变换后仅得到一个等式的二次常微分方程，条件不够无法得到常微分方程的解。