数学基础-高斯模型

在之前的一篇文章[机器学习-Bayesian概念学习,]中提到了一组常用的共轭分布，beta分布-二项分布，它们都是离散型的概率分布，而一组更一般的离散型共轭分布为Dirichlet分布-多项分布。共轭分布一般用在我们需要给参数加先验条件时，为了使运算式子保持统一的形式从而简化计算，通常我们会采取共轭分布，更一般地，可以考虑共轭分布的线性组合，同时兼顾了先验分布的合理性。

而在常见的连续概率分布-高斯分布中，也经常会有类似的讨论。下面分享一些我学习高斯模型的体会。一维的高斯分布可能都不陌生，这里直接从更一般的多维高斯模型出发。

多维高斯分布

其中在指数中出现的Σ为对称正定矩阵，故它的所有特征值都是正的，所有特征向量都互相正交，可以用来做度量，前后乘以(x-μ)就可以看做是||x-μ||_Σ的平方，即Σ范数的平方，由此可看出它是一维高斯分布的推广，而当Σ为单位矩阵时，Σ范数便回到了我们熟悉的二范数。

假如Σ有特征值λ和特征向量u，则Σ的逆可以有如下分解

From: Murphy

同时||x-μ||_Σ可以写为

From: Murphy

其中yi=，即为x-μ在第i个特征向量方向上的投影。由上式可以看出，λi越大，则在第i个方向上的影响越小，同时λi越小，则相对来说在第i个方向上的影响越大。放到下图来看，若由μ出发的向量y越靠近方向u1方向，则范数越小，越靠近u2方向，则范数越大。图中所示的红色椭圆是一个“等高线”，椭圆上的每一点在Σ范数下与μ的距离都相同，椭圆的轴长关系对应于λ的大小，即λ越大，相应方向的轴长越大。

From: Murphy

当Σ为单位矩阵I时，或者更一般地，Σ的特征值都相等，则椭圆的各方向轴长都相等，从而多维高斯分布的等高线为圆，而这也对应于一维的情况。

Reference:

Machine Learning-A Probabilistic Perspective, Kevin P. Murphy, 2012.