图像的傅里叶变换

参考：

1. 傅里叶变换学习
2. 图像变换
3. 第四章 图像变换
4. 图像傅里叶变换
5. 频谱特性研究

傅里叶定理指出：

• 任何信号都可以表示成（或者无限逼近）一系列正弦信号的叠加。在一维领域，信号是一维正弦波的叠加，那么想象一下，在二维领域，实际上是无数二维平面波的叠加，$(x，y)$对应的是一维领域的 $t$，而灰度（Brightness Variation）就是其变量对应一维领域的振幅$F(t)$。

二维离散傅里叶变换：

幅度谱、相位谱和功率谱：

• 幅度图：频域下每一点$(u,v)$的幅度 $F(u,v)$表示的是该频率的平面正弦波在叠加中所占的比例。
  

  

• 相位图：相位图看上去不是很直观，但是与图像结构息息相关
  

  

• 功率谱：
  

• 通过相位图和幅度图，我们可以还原$F(u,v)$:
  

  

要点分析：

• 那么(u，v)的物理含义是什么样的？平面波如下图所示,灰度变化快的频率高，也就是频率是指灰度在平面空间的梯度，这是很直观的描述，那么反应在图像上，就是图像中灰度变化比较快的地方，比如噪声，边缘，跳跃部分，背景以及慢变区域代表低频分量。 这里有一个理解的误区我需要指出一下，这个也是一开始困扰我的地方，就是正弦平面波叠加成图像时，并不是简单的叠加，而是不同相位的叠加。回忆一下一维的傅里叶变换，不同的正弦波的相位也是不同，不然怎么可能组成想要的信号波。所以理解相位很重要。
  
  

• 我们通常看到的傅里叶频谱图是图像中心化（移频）之后再去掉相位的图像，那么问题来了？在频谱图上，我们知道$(u,v)$的位置对应的是频率，在对于每一个$(u,v)$点的亮度又对应的什么？首先要明确，中心化之后，最低频移动到了中心，从图中可以看出来，中心点的能量最大，也就是比重最高。不知道我理解的对不对，看频谱图时要去原图割裂来看，然后再回到原图中区。
  
  

图像处理变换的目的：

通过对图像信息进行变换，使得能力保持但重新分配，有利于加工、处理或滤除不必要的信息，加强或提取感兴趣的部分或特征。

1. 提取图像特征：如直流分量，目标边缘（高频分量）
2. 图像压缩：蒸饺变换能量集中，对集中（小）部分进行编码
3. 图像增强：低通滤波，平滑噪声，高通滤波，锐化边缘等

什么是空间频率：

1. 对图像信号而言，空间频率是指单位长度内亮度也就是灰度做周期性变化的次数，也就是变化剧烈程度的指标，可以理解灰度在平面空间上的梯度。

2. 我们对图像进行了二维傅里叶变换得到了频谱图，实际上是图像梯度的分布图，注意频谱图与原图像的各点不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也没有。图像上某一点与它领域点差异的强弱，实际上就是梯度，而该梯度就是对应于频谱图的某一点，而这个梯度也就是对应$(u,v)$某一点，但是这一点的大小或者说幅度值（亮暗）是由整体图像决定的，该梯度（该频率）对应的平面波的所占成分的大小。（能量的角度）

3. 移频后频谱图的中心为原始图像的平均亮度，频率为0，从图像中心向外，频率增高，高亮度表明该频率特征明显。此外，注意到，频率图像中心明显的频率变化方向与原图像中的物方向垂直，也就是说如果原始图像中有多种水平分布的物，那么频率域图像在垂直方向的频率变化比较明显。