字符串最长回文子串

字符串最长回文子串

题目描述：

给定一个字符串，求它的最长回文子串的长度。

分析和解法：

最容易想到的办法是枚举所有的子串，分别判断其是否为回文，然后在其中找出最长的。这个思路初看起来是正确的，但却做了很多无用功，如果一个长的子串包含另一个短一些的子串，那么对子串的回文判断其实是不需要的。而且如果找到了长的回文子串，比它短的就不用看了。

解法一：枚举中心

那么如何高效的进行判断呢？我们想想，如果一段字符串是回文，那么以某个字符为中心的前缀和后缀都是相同的，例如以一段回文串“aba”为例，以b为中心，它的前缀和后缀都是相同的，都是a。

那么，我们是否可以可以枚举中心位置，然后再在该位置上用扩展法，记录并更新得到的最长的回文长度呢？答案是肯定的。
源代码如下：

#include 
#include 

using namespace std;

int LongestPalindrome(char *s, int n)
{
    int i, j, max, c;
    
    if(s == 0 || n < 1)
        return 0;
    max = 0;
    
    for(i = 0; i < n; ++i)    //i是回文子串的中点 
    {
        if(n % 2 == 1)    //回文子串的长度为奇数
        {
            for(j = 0; (i - j >= 0) && (i + j < n); ++j)    
            {
                if(s[i - j] != s[i + j])
                    break;
                c = j * 2 + 1; 
            }
        }
        else     //回文子串的长度为偶数
        {
            for(j = 0; (i - j >= 0) && (i +j + 1 < n); ++j)     
            {
                if(s[i - j] != s[i + j + 1])
                    break;
                c = j * 2 + 2;
            }
        }
        if(c > max)
            max = c; 
    }
    return max;
}

int main()
{
    char str[100];
    cin >> str;
    cout << LongestPalindrome(str, strlen(str));
    return 0;
}

分析：上面的代码是对全部情况进行了遍历，当然，我们还可以稍加改善一下，max的初始值可以设置为1，因为前面已经处理了字符串为空的情况，所以但凡有正确输入，一个字符也算是一个回文子串，所以最小的长度为1，i 的取值范围可以从1到n - 1，j 的初始值可以从1开始。

解法二：Manacher算法

在上文的解法一：枚举中心位置中，我们需要特别考虑字符串的长度是奇数还是偶数，所以导致我们在编写代码实现的时候要把奇数和偶数的情况分开编写，是否有一种方法，可以不用管长度是奇数还是偶数，而统一处理呢？比如是否能把所有的情况全部转换为奇数处理？

答案还是肯定的。这就是下面我们将要看到的Manacher算法，且这个算法求最长回文子串的时间复杂度是线性O(N)的。

首先通过在每个字符的两边都插入一个特殊的符号，将所有可能的奇数或偶数长度的回文子串都转换成了奇数长度。比如 abba 变成 #a#b#b#a#， aba变成 #a#b#a#。

此外，为了进一步减少编码的复杂度，可以在字符串的开始加入另一个特殊字符，这样就不用特殊处理越界问题，比如$#a#b#a#。

以字符串12212321为例，插入#和$这两个特殊符号，变成了 S[] = "$#1#2#2#1#2#3#2#1#"，然后用一个数组 P[i] 来记录以字符S[i]为中心的最长回文子串向左或向右扩张的长度（包括S[i]）。

比如S和P的对应关系：

S # 1 # 2 # 2 # 1 # 2 # 3 # 2 # 1 #
P 1 2 1 2 5 2 1 4 1 2 1 6 1 2 1 2 1

可以看出，P[i]-1正好是原字符串中回文串的总长度

那么怎么计算P[i]呢？该算法增加两个辅助变量（其实一个就够了，两个更清晰）id和mx，其中 id 为已知的右边界最大的回文子串的中心，mx则为id+P[id]，也就是这个子串的右边界。

然后可以得到一个非常神奇的结论，这个算法的关键点就在这里了：

如果mx > i，那么P[i] >= Min(P[2 * id - i], mx - i)

就是这个结论卡了我非常久。实际上如果把它写得复杂一点，理解起来会简单很多：

//记j = 2 * id - i，也就是说 j 是 i 关于 id 的对称点(j = id - (i - id))
if (mx - i > P[j]) 
    P[i] = P[j];
else /* P[j] >= mx - i */
    P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之后再匹配更新。

当然光看代码还是不够清晰，还是借助图来理解比较容易。

当 mx - i > P[j] 的时候，以S[j]为中心的回文子串包含在以S[id]为中心的回文子串中，由于i和j对称，以S[i]为中心的回文子串必然包含在以S[id]为中心的回文子串中，所以必有P[i] = P[j]；

当 P[j] >= mx - i 的时候，以S[j]为中心的回文子串不一定完全包含于以S[id]为中心的回文子串中，但是基于对称性可知，下图中两个绿框所包围的部分是相同的，也就是说以S[i]为中心的回文子串，其向右至少会扩张到mx的位置，也就是说 P[i] >= mx - i。至于mx之后的部分是否对称，再具体匹配。

此外，对于 mx <= i 的情况，因为无法对 P[i]做更多的假设，只能让P[i] = 1，然后再去匹配。

源代码如下：

#include 
#include 
#include 

using namespace std;

void findBMstr(string& str)
{
    int *p = new int[str.size() + 1];
    memset(p, 0, sizeof(p));

    int mx = 0, id = 0;
    for(int i = 1; i <=  str.size(); i++)
    {
        if(mx > i)
        {
            int j = 2 * id - i;
            p[i] = (p[j] < (mx - i) ? p[j] : (mx - i));
        }
        else
        {
            p[i] = 1;
        }

        while(i + p[i] < str.size() && str[i - p[i]] == str[i + p[i]])
            p[i]++;

        if(i + p[i] > mx)
        {
            mx = i + p[i];
            id = i;
        }

    }
    
    int max = 0, ii;
    for(int i = 1; i < str.size(); i++)
    {
        if(p[i] > max)
        {
            ii = i;
            max = p[i];
        }
    }
    max--;
    cout << max <> str;
    string str0;
    str0 += "$#";
    for(int i = 0; i < str.size(); i++)
    {
        str0 += str[i];
        str0 += "#";
    }
    cout << str0 << endl;
    findBMstr(str0);
    return 0;
}

分析：Manacher算法使用id、mx做配合，可以在每次循环中，直接对P[i]的快速赋值，从而在计算以i为中心的回文子串的过程中，不必每次都从1开始比较，减少了比较次数，最终使得求解最长回文子串的长度达到线性O(N)的时间复杂度。

特别注意：

• 解法二挺绕的，不是很好理解，建议对照图例细细品味

参考资料：《编程之法》The Art of Programming By July