Stata: 拉索回归和岭回归 (Ridge, Lasso) 简介

作者：王翰洋 (北京大学)

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「不显著」是很多跑回归的人的痛处，但有时不显著并非是故事本身的原因，而是多重共线性导致的。多元分析中，当两个或更多的变量出现相关的时候，就有可能出现多重共线性问题。一般的多重共线性并不影响估计，但高度的共线性会使估计的方差膨胀，t 值缩水，导致统计推断失效。

本文介绍了两种经典的筛选变量、应对多重共线性的参数方法，「Ridge 回归」和「Lasso 回归」。

1. Ridge回归

Ridge 回归 (Hoerl and Kennard, 1970) 的原理和 OLS 估计类似，但是对系数的大小设置了惩罚项。具体来说，

其中，t 代表惩罚的力度，t 越大，对系数的大小惩罚越重，约束越紧。取系数的平方和形式可以避免正负系数相抵消的情况。在矩阵形式中，Z 按照传统是标准化之后的（均值为 0，方差为 1），y 也需要中心化。不难证明，这个优化问题的解是：

显然，λ 是这个问题的调整参数，当 λ 趋于 0 的时候，就退化为一般的 OLS 估计。当 λ 趋于正无穷的时候，则是纯截距回归。实践中，可以通过交叉验证（cross validation）的方法来选择调整参数 λ 。在 Stata 命令中，可以通过命令 rxridge 来实现 Ridge 回归。命令基本格式是：

rxridge  y X_1 X_2 X_3 [if exp] [in range]  ///
        [, msteps(#) qshape(#) rescale(#) tol(#) ]

具体说明如下：

msteps 代表共线性容忍参数每增加一单位所带来的步数变化
qshape 控制了沿似似然空间收缩的形状
rescale 是调整方差的参数，比如 rescale(1) 就是让所有中心化变量方差都为 1 ，rescale(0) 就是让所有变量都保持原来的方差
tol(#) 用于设定收敛判据

2. Lasso 回归

Lasso 也是对系数的大小设置了惩罚项，但惩罚项引入的方式略不同，具体来说，

等价地，我们可以用以下损失函数来表示：

仍然，λ 是这个问题的调整参数，不过一般情况下我们无法得到 β 的显示解。但是，当数据矩阵中各变量都相互正交且模为 1 时，我们可以得到 Lasso 的显示解。在 Lasso 中，可以看到，惩罚项由平方换成了绝对值。虽然绝对值是凸函数，函数在 0 点有唯一的最小值，但其在此点不可导。当某项的惩罚系数足够大时，那么它将无法进入模型（变量选择），只有那些回归系数非0的变量才会被选入模型。

在 Stata 中，我们可以安装 lassopack 命令来实现 Lasso 回归，Lassopack 包含三个与 Lasso 相关的子命令（输入 help lassopack 可以查看详情）：

子命令 lasso2 可进行 Lasso 估计；
子命令 cvlasso 可进行 K 折交叉验证（k-fold cross validation）；
子命令 rlasso 可以估计惩罚项由数据决定或者高维情形（变量维度超过样本数）。

3. 演示数据集

下面我们用一个糖尿病数据集（Efron et al., 2004）来演示 Ridge 回归和 Lasso 回归,
这个数据集包括血液化验等指标（Source:http://CRAN.R-project.org/package=lars）。除了被解释变量 y 之外，还有 X 和 X2 两组变量，前者是标准化后的，为 442x10 维矩阵，后者包括前者及一些交互作用，为 442x64 维矩阵，我们考虑 y 和 X2 。在导入数据后，我们先进行 Ridge 回归。输入命令

rxridge  y x2*, q(-1)

就可以得到 Ridge 回归的结果，估计的 sigma 为 0.690，最后迭代出的 MCAL 为 63，Summed SMSE 为 104.37。

Ridge Regression with Efron et al.(2004) dataset

然后我们考虑 Lasso 回归。输入如下命令可以进行 Lasso 估计，最后一个选项代表显示整个解的路径：

lasso2  y x2* , plotpath(lambda)

下表显示随着调整参数λ由大变小，越来越多的变量进入模型，比如 λ=3.992e+04 时，常数项首先进入模型。

Model specification with tuning parameter

下图为整个解的路径（作为 λ 的函数），画出了不同变量回归系数的变化过程。其中，当 λ=0 时（下图最左边），不存在惩罚项，故此时 Lasso 等价于OLS。而当 λ 很大时（下图最右边），由于惩罚力度过大，所有变量系数均归于 0 。这里，由于变量非常多，整个图颇有野兽派风格：

Solution path to Lasso Regression

紧接着，我们使用 K 折交叉验证的方法来选择最佳的调整参数。所谓的 K 折交叉验证，是说将样本数据随机分为 K 个等分。将第 1 个子样本作为 “验证集”（validation set）而保留不用，而使用其余 K-1 个子样本作为 “训练集”（training set）来估计此模型，再以此预测第 1 个子样本，并计算第1个子样本的 “均方预测误差”（Mean Squared Prediction Error）。其次，将第 2 个子样本作为验证集，而使用其余 K-1 个子样本作为训练集来预测第2个子样本，并计算第 2 个子样本的 MSPE。以此类推，将所有子样本的 MSPE 加总，即可得整个样本的 MSPE。最后，选择调整参数，使得整个样本的 MSPE 最小，故具有最佳的预测能力。我们输入命令

cvlasso  y x2*, lopt seed(123)

其中，选择项 “lopt” 表示选择使 MSPE 最小的 λ，选择项 “seed(123)” 表示将随机数种子设为 123（可自行设定），以便结果具有可重复性；默认 K=10（即 10 折交叉验证）。

Cross Validation, K=10

打星号处的 λ=2688.3717，这是使 MSPE 最小的调整参数，与此对应的估计结果如下图所示：

Model selected with Lasso Regression

上表右边第 1 列即为 Lasso 所估计的变量系数。其中，除常数项外，只有 14 个变量的系数为非零，而其余变量（未出现在表中）的系数则为 0。考虑到作为收缩估计量的 Lasso 存在偏差（bias），上表右边第 2 列汇报了 “Post Lasso” 估计量的结果，即仅使用 Lasso 进行变量筛选，然后扔掉 Lasso 的回归系数，再对筛选出来的变量进行 OLS 回归。

通过以上的介绍，我们已经掌握了如何使用 Stata 进行 Ridge 回归和 Lasso 回归，这是经典的解决高度共线性、筛选变量的方法。但是，近年来非常火热的机器学习方法，在解决高度共线性、筛选变量方面，有更好的表现，期待看到更多的关于机器学习方法的 Stata 命令。

Stata 相关命令

这些都是外部命令，可以使用 findit cmdname 搜索后下载，亦可直接使用 ssc install cmdname, replace 直接下载，详情参见「Stata: 外部命令的搜索、安装与使用」。

help ridgereg // module to compute Ridge Regression Models
help elasticregress //perform elastic net regression, lasso regression, ridge regression, 作者自己的评价
help ridge2sls // Two-Stage Least Squares (2SLS) Ridge & Weighted Regression
help lassopack //module for lasso, square-root lasso, elastic net, ridge, adaptive lasso estimation and cross-validation
- lassopack 项目主页 - The Stata Lasso Page
- 作者 PPT

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