53. Maximum Subarray

这是一道非常经典的动态规划的题目，用到的思路我们在别的动态规划题目中也很常用，以后我们称为”局部最优和全局最优解法“。基本思路是这样的，在每一步，我们维护两个变量，一个是全局最优，就是到当前元素为止最优的解是，一个是局部最优，就是必须包含当前元素的最优的解。接下来说说动态规划的递推式（这是动态规划最重要的步骤，递归式出来了，基本上代码框架也就出来了）。假设我们已知第i步的global[i]（全局最优）和local[i]（局部最优），那么第i+1步的表达式是：local[i+1]=Math.max(A[i], local[i]+A[i])，就是局部最优是一定要包含当前元素，所以不然就是上一步的局部最优local[i]+当前元素A[i]（因为local[i]一定包含第i个元素，所以不违反条件），但是如果local[i]是负的，那么加上他就不如不需要的，所以不然就是直接用A[i]；

局部最优和全局最优解法

• 首先local[i]表示以a[i]为结尾的子序列的最大的和，则global = max{local[0], ... , local[n-1]} 。 global即为答案。而local[i + 1]只有两个选择，要不就是和之前的数字连在一起组成一个序列，或者自己a[i+1]独立组成一个序列，哪个大选哪个,local[i+1] = max{ a[i+1], local[i] + a[i+1] }.

#include
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#include 
using namespace std;

class Solution {
private:
    int max(int a, int b)
    {
        return a>b? a:b;
    }

public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int size = (int)nums.size();
        
        int local = nums[0];
        int global = local;
        
        for (int i = 1; i < size; i++)
        {
            local = max(local + nums[i], nums[i]);
            global = max(local, global);
        }
        
        return global;
    }
};

分治法

易知，对于一数字序列，其最大连续子序列和对应的子序列可能出现在三个地方。或是整个出现在输入数据的前半部（左），或是整个出现在输入数据的后半部（右），或是跨越输入数据的中部从而占据左右两半部分。前两种情况可以通过递归求解，第三种情况可以通过求出前半部分的最大和（包含前半部分的最后一个元素）以及后半部分的最大和（包含后半部分的第一个元素）而得到，然后将这两个和加在一起即可。

#include
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#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;

class Solution {
private:
    int max(int a, int b)
    {
        return a>b? a:b;
    }
    
    int maxSubSum(vector& nums, int l, int r)
    {
        if (l == r) return nums[l];
        
        int mid = (l + r)/2;
        
        int wholeLeft = maxSubSum(nums, l, mid);
        int wholeRight = maxSubSum(nums, mid+1, r);
        
        int partleft = nums[mid];
        int sum = partleft;
        for (int i = mid-1; i>= l; i--)
        {
            sum += nums[i];
            partleft = max(partleft, sum);
        }
        
        int partright = nums[mid+1];
        int sum2 = partright;
        for (int i = mid + 2; i <= r; i++)
        {
            sum2 += nums[i];
            partright = max(partright, sum2);
        }
        
        return max(max(wholeRight, wholeLeft), partright + partleft);
    }
    
public:
    int maxSubArray(vector& nums) {
        int size = (int)nums.size();
        
        return maxSubSum(nums, 0, size-1);
    }
};