递归的归纳

在定义一个过程或函数时出现调用本过程或本函数的成分，成为递归。调用自身称为直接递归，若q调用p,p调用q,则称为间接递归。

尾递归，在函数中递归调用是最后一句执行语句。

例题：求n的阶乘的递归函数

例题：Fibonacci数列

使用递归时的三种情况，

1.0定义是递归的。

有许多数学公式，数列等的定义是递归的。

2.数据结构是递归的

例题，求单链表所有节点数据域的和。

3.问题的求解方法是递归的。

例题，hanoi问题求解。

def Hanoi(n,X,Y,Z):

if n == 1:

print('\t将第{0}个盘片从{1}移动到{2}\n'.format(n,X,Z))

else:

Hanoi(n-1, X,Z,Y)

print('\t将第{0}个盘片从{1}移动到{2}\n'.format(n,X,Z))

Hanoi(n-1, X,Z,Y)

递归模型的结构，包含递归出口和递归体。前者确定递归到何时结束，后者确定递归求解时的递推关系。

递归出口：f(n)  ＝ 1  n ＝1

递归出口的一般格式如下：f(s1) ＝m1

S1和m1均为常量，有些递归问题可能有几个递归出口

递归体：f(n)  ＝n*f(n-1) n>1

递归的思路是把一个不能或不好直接求解的"大问题"转换成一个或几个"小问题"来解决，再把这些"小问题"进一步分解成更小的"小问题"来解决，如此分解，直至每个小问题都可以直接解决了，此时分解到递归出口。但是递归分解不是随意地分解，递归分解要保证"大问题"和小问题相似，求解过程和环境都相似。

递归函数直接或间接调用自身。虽然每次调用的是相同的子程序，但它的参量，输入数据等均有变化，并且在正常情况下，随着调用的不断深入，必定会出现调用到某一层的函数时，不再执行递归调用而终止函数的执行，遇到递归出口。

递归调用是函数嵌套调用的一种特殊情况，它是调用自身代码，因为也可以理解成每一次递归调用就是自身代码的一个复制品。由于每次调用时它的参量和局部变量均不相同因而也就保证了各个复制件执行时的独立性。

但这些调用在内部实现时并不是每次调用真的需要去复制一个复制件存放到内存中，而是才用代码共享的方式，调用同一个函数的代码，系统为每次调用开辟一组存储单元，用来存放本次调用的返回地址和被中断的函数的参量值。这些单元以栈的形式存放，每调用一次就进栈一次，当返回执行出栈操作时，把当前栈顶保留的值送回相应的参量中进行恢复，并按栈顶中的返回地址，从断点继续执行。

例题：采用递归算法求实数数组A中的最小值

例题：字符串求逆的递归算法

例题：求顺序表中最大元素，利用递归的方法

例题：假设二叉树采用二叉存储结构，根节点指针为b，求该二叉树所有的节点个数。

例题：在n×n的方格棋盘上，放置n个皇后，要求每个皇后不同行，不同列，不用左右对角线

递归的时间效率比较差，有时候我们希望用递归算法分析问题，用非递归算法具体求解问题。

把递归算法转换成非递归算法有如下两种基本方法：

1.对于尾递归和单向递归的算法，可以使用循环结构的算法代替。

2.用栈模拟系统的运行过程，通过分析只保存必要保存的信息，从而用非递归算法替代递归算法。

单向递归是指递归函数中虽然有一处以上的递归调用语句，但各次递归调用语句的参数只和主调用函数有关，相互之间参数无关，并且这些递归调用语句也和尾递归一样处于算法的最后。