[leetcode] 96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

解题思路：
首先解释一下题目的意思，题目要求是给定数字序列1....n,求出可能的二叉搜索树的个数。

本题可以采用动态规划的方法来解决。具体公式[F(i, n) = G(i-1) * G(n-i)]。
给定一个序列1.....n, 来构造一个BST, 我们可以枚举系列中的每个数字i, 然后使用i作为根节点，很自然的，子序列1....(i-1)可以构成i的左子树，而(i+1)....n可以构成i的右子树，而且左子树和右子树叶都是BST.通过上面的方法，我们可以确保所构造的BST都是不同的，因为根节点是不同的。

为了求出不同的BST的个数，我们定义以下两个函数：

*  G(N): 给定数字序列1....n, 求出可能的二叉树的个数。
*  F(i, n) , i <= i <= n, 给定数字i, 并且数字i作为根节点，求出可能的二叉树个数。

根据以上两个定义的函数，可以得出G(n)就是题目的解，而G(n)可以通过求解F(i,n)得到，具体公式为：

G(n) = F(1, n) + F(2, n) + ... + F(n, n). '
G(0) = 1, G(1) = 1.

给定一个序列1.....n, 选择i作为BST的根节点，则二叉树的个数为：F(i,n)。 为了求F(i,n), 我们将F(i,n)拆分为左子树的个数和右子树的个数，因此可以得到以下公式：

F(i,n) = G(i-1) *(n-i)      1<= i <= n

具体代码如下：

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        if(n == 0) return 0;
        if(n == 1) return 1;
        
        vector ret(n+1,0);//增加第零个元素,所以size为n+1
        ret[0] = 1;
        ret[1] = 1;
        
        for(int i = 2; i <= n; ++i)
        {
            for(int j = 1; j <= i; ++j)
                ret[i] += ret[j-1] * ret[i-j]; 
        }
        return ret[n];
    }
};

参考资料：https://discuss.leetcode.com/topic/8398/dp-solution-in-6-lines-with-explanation-f-i-n-g-i-1-g-n-i