1.6曲率
引力似乎已经消失。各处的空时几何都是局域 Lorentz几何。而在Lorentz几何中，粒子是以匀速沿直线运动的。其中哪里能见到任何引力的偏转呢？回答是，且回到苹果上来(图1.1)。重新观察蚂蚁在苹果表面上的短程线足迹。注意原来从同一点分出的两条邻近短程线的重新会合。在真实的物理世界中，何者与此类似？什么概念能符合 Einstein关于物理学仅当局域分析时才是简单的这一训谕呢？不要查看宇宙飞船到地球的距离。而去查看该宇宙飞船到邻近宇宙飞船的距离！或者，为了避免可能涉及到两个宇宙飞船之间的任何引力，查看在绕地轨道上的两个邻近的试验粒子。在这种情况下，为了避免非局域因素(地球)的分心，可在绕地轨道上的宇宙飞船内部研究。但是，这个区域已被当作局域惯性参考系了！在这里，能对引力物理学有所了解么？一无所知。在所考虑的测量精度内，这两个试验粒子相对于宇宙飞船以匀速作直线运动，从而，彼此也相对作匀速直线运动(见框1.5，平直性的检验)。现在，问题的关键开始显露了:测量精度。增加测量精度，直到能测出使试验粒子彼此分离的加速度——如果它们位于通过地球中心同一半径上的话；或者，测出其间彼此靠近的加速度——如果它们的连线垂垂直上述半径的话。用Newton的语言，这些加速度起源于地球的潮汐作用。然而，对宇宙飞船中的观测者来说，用不着去看地球。而且，根据 Einstein的理论，他懂得重要的是局域地分析运动。他用矢量(k＝1，2，3，是局域 Lorentz参考系中测定的三分量)表示新的试验粒子与基准试验粒子的分离。至于这个分离的加速度，他知道根据 Newton物理学，可以得出的是：若去经向方向沿 Descartes(笛卡儿)坐标z轴，则
；
证明:在 Newton物理学中，单个粒子指向地球中心的加速度，用约定的时间单位，是Gm约定/r^2，其中G＝6.670×10^{-8}厘米^3/克·秒^2是 Newton引力常数，是以约定的克为单位的地球质量。采用几何学的时间单位(光行1厘米的时间)，加速度为。当两个粒子在垂直r的方向上分开距离ξ时，其中一个粒子的向下加速度与另一粒子的向下加速度偏离ξ/r角。于是，一个粒子向另一粒子以上述数量加速。当两粒子的分离平行r 时，计算r 处及r＋ξ 处的 Newton加速度，并取其差(ξ 乘以d/dr)即可给出相对加速度。由此得证。总而言之， Newton引力理论的「局域潮汐加速度」提供了 Einstein嘱咐人们去找的引力局域描述。
相对加速度是由曲率引起。
这个潮汐加速度与曲率有何关系呢？(见框1.6)再次查看那个苹果，或者最好查看一个半径为a 的球(图1.10)。邻近短程线之间的间隔满足「短程线偏离方程」
(1.6)
式中R＝1/a^2是所谓表面的 Guass曲率。对于苹果表面，此方程仍适用，差别只是苹果表面各处的曲率R不同。
图1.10
用两相邻短程线的「分加速度」表示曲率。两条原先互相平行的分离
距离(「短程线偏离」)为ξ_0的短程线，经过距离s后不再平行了。
其间的分离为式中a是球的半径。给分离
满足简谐运动方程(短程线偏离方程)
分矢量 ξ 的方向因它垂直于基准短程线而完全固定。因此，在短
程线偏离方程中毋需涉及 ξ的方向，其中只出现 ξ 的大小ξ，即只出现相对加速度的大小而不涉及其方向。
在二维以上的空间中，可用同样的、而形式更普遍的方程，但有一些差别。在二维情形，一短程线相对于邻近基准短程线的加速度的方向，因其间的间隔矢量ξ应与基准短程线垂直而唯一确定(见图1.10)。但在三维或更高维情形则并非如此。其中ξ仍垂直于基准短程线，同时绕它旋转(图1.11)。因此，为了唯一地确定其相对加速度，不仅需要给出它的大小，还需要给出它的方向。
于是，在三维和更高维情形，相对加速度是一个矢量。称之为「」，并称其四个分量为「」。为什么用大写字母「D」，为什么不用「」呢？因为我们的坐标系是完全任意的(参看1.2)。即使矢量ξ 完全没有变化，坐标系的扭曲或转动仍会引起ξ 的分量ξ ^α各处不同。因此，一般说来，分量为的加速度并不等于加速度的分量
然而，在弯曲空时中，人们能否确定相对加速度的分量呢？为此要采用短程线偏离方程(1.6)的更为复杂的型式。微分几何(本书第三篇)提供给我们一个称为 Riemann 曲率张量「Riemann」的几何客体。 Riemann是苹果表面 Guass曲率的R一个更高维对应量。 用Riemann 张量表征曲率。
图1.11在弯曲的三维流形中，两短程线间的分矢量ξ 。此处，从一点到另一点，不仅 ξ 的长度可以变化，还可以不同的速度绕基准短程线旋转。因此，除了用大小外，还必须用方向来表征短程线的相对加速度，即它必须是一个矢量
框1.6何者之曲率？
初看起来，最有吸引力的莫过于下述想法:引力是是空间曲率的一种表示(A)，然而，再一想，最荒谬的想法竟莫过于此(B)。如果弯曲来自空间的几何，为什么球和子弹轨迹的弯曲如此不同呢？伟大的Riemann没有给世界提供一种引力的几何理论，这是不足为怪的。的确，他在28岁时(1854年6月10日)向世界呈现出定义和计算曲率的数学工具(度规和Riemann几何)。的确，在他40岁垂危之际，仍耗尽心血寻求电和引力的统一计算。但是，为什么他未能找到引力和曲率的决定性联系呢？也许超乎其他一切的理由是，他想的只是空间和空间的曲率，而不是空时和空时的曲率。为走出这一步并达到狭义相对论，花了40年(1905年；时间与空间处于同等地位)，下一步又是10年(1915年；广义相对论)。在空时(C)中描述时，球和子弹的轨迹似乎有可相比拟的曲率。但是，实际上，两条轨迹都没有任何弯曲。两者在(C)中看起来都弯曲，这只是因为人们忘记了他们所居住的空时本身是弯曲的——弯曲的足以使这些轨迹成为现有的最直的直线(短程线)。
A.把光线因太阳而弯曲描述为太阳附近空间弯曲的结果。光线追随短程线，但是，光行进于其中的几何是弯曲的(实际的行进发生在空时中，而不是在空间中，正确的偏转应是上述简单图像的两倍)。偏转反比于恒星和日心的角距。在日蚀时实际观测到的偏转可参看框40.1。
如果说最初看到曲率(此处指空时的曲率)以如此直截了当的方式涌现出来颇为满意，那么，稍加思索后则痛感尙待补充。曲率乃相对何者而言？曲率并非相对于实验室而言。在适当的讨论中，在地球上的实验室并不具有任何简单地位。首先，它不是 Lorentz参考系。其次，提到地球甚至会使人们想到引力超距作用的某种说法(指地心至球或子弹的距离)。与此相反， Einstein的整个论点是物理学只在局域分析时才看起来简单。但是，考虑局域物理学，意味着将一个试验粒子的短程线与另一个试验粒子的短程线相比较，后者(1)在前者附近行进；(2)以几乎同样的方向行进；(3)以几乎相同的速度行进。因此人们可以「查看这两个邻近试验粒子之间的间隔，并以这些间隔的二阶时间变化率和『短程线偏差方程』(1.8式)得出空时的曲率。
Riemann 是空时中弯曲和扭翘的数学体现。
Riemann 也是一个媒介物，通过它，弯曲和扭翘(空时的曲率)产生出短程线间的相对加速度。
Riemann ，与框1.3中度规张量g一样，可以看作一族机器。在空时中每个事件上都有这样一部机器。每一部机器都有三个空位，可以插入三个矢量：
选择通过事件z的一短程线(自由粒子世界线)为基准线，并将其在哪里的单位切向矢量(粒子四维矢量)表为
；其分量 (1.7)
选择另一邻近的短程线，并用 ξ 表示它与基准短程线的垂直距离。然后将u 插入事件z 处Riemann 的第一个空位，ξ 插入第二个空位，u 插入第三个空位。经Riemann 作用后，得一新矢量，
Riemann (u ，ξ，u)
短程线偏离方程表明，这个新矢量是两个短程线相对加速度的负值：
(1.8)
Riemann 张量与度规张量(框1.3)和其他张量一样，是一个线性的机器。它所产生的矢量是插入空位的各矢量的线性函数：
Riemann (2u ，aw+bv，3r)
= 2× a × 3 Riemann (u，w，r)
+ 2 × b × 3 Riemann (u，w，r) (1.9)
因此，在任何坐标系中，所产生的矢量的诸分量可以写成插入矢量诸分量的「三线性函数」：
(此处隐含着对β，γ，δ 三指标求和，参看框1.1)。有4×4×4×4=256个数的称为「在给定坐标系中Riemann 张量的分量」。短程线偏差方程可以用分量形式表为
(1.8')
在Einstein的引力几何理论中，短程线偏差方程概括了几何对物质的全部效应。
短程线偏差方程类似于Lorentz力定律。它在引力物理学中的作用，就像Lorentz力方程
(1.11)
在电磁学中的作用一样。参看框1.7.
在空时中，曲率的测量单位为厘米^{-2} ，与苹果表面一样。未来使这些单位(几何单位)
甚为清楚，只需把质量也用「几何单位」表示： m(厘米)=(G/c^2)m_{约定}(克) =(0.742×10^{-28}厘米/克)m_{约定}(克) (1.12)
利用比值
G/c^2=0.742×10^{-28}厘米/克
把克转换为厘米，这与利用比值
把秒转换为厘米完全类似(参看框1.5之后)。太阳的质量，用约定单位表示
为m_{约定}=1.989×10^{33}克,用几何单位表示，为1.477公里。框1.8作了进一步讨论。
由缓慢运动粒子之间的相对加速度可算出Rie
利用几何单位，并利用Newton 引力理论，很容易算出接近地球或接近太阳出Riemann 曲率张量的9个最有意义的分量。这总方法是，将通过测量缓慢运动实验粒子加速度来确定电场强度的方法，类推到引力场。考虑在距地球或太阳r处，两个邻近而缓慢运动(v《 c)粒子的短程线之间的分离。在天体力学作为标准的近似惯性坐标系中，基准实验粒子四维速度的诸分量，除dx^0/dτ=1外，其余可略。短程线偏差方程的诸空间分量可表为
(1.13)
与Newton理论的结论，即(1.5)式比较，可得出有关质心附近空时曲率的下述知识：
(单位为厘米-2)。此处及以后所用的字符或「帽」号(^)表示矢量或张量在局域 Lorentz参考系中的分量(即「物理分量」，以有别于在一般参考系中的分量)。 Einstein理论可以确定曲率其它分量的值(如{ {R ^ { \hat { x } }} _ { \hat { z } \hat { z } \hat { z } } } = - m / r^3；但是这九项在引力理论的许多应用中是主要有关的量。它们类似于Lorentz运动方程中的电场诸分量。没有计算的许多项则类似于磁场诸分量——除了源快速运动的情况外，它们通常是较弱的。
这就是几何对物质的效应的概述(苹果的曲率使短程线交叉的效应——在苹果顶部的下凹处附近，这一效应特别显着，正如在引力吸引中心附近，空时曲率特别大一样)。现在，让我们再来讨论物质对几何的效应(「苹果梗引起下凹的效应」)！
1.7物质对几何的效应
在距世界中心特定距离处，任何已知重量的重物，其重量将随它到中心距离的变化而化；由此，每当把它从中心移远时会变得重些，而移近时则轻一些。据此，各引力间的关系就是距中心的各距离间的关系。
AL KHAZINI(merv，公元1115年)，智慧的平衡之书
图1.12示出一密度均匀之球，其密度为地球之平均密度ρ＝5.52克/厘米^3。一洞贯穿此球。两试验粒子A和B在此洞中以84分的周期作简谐运动。因此，它们的短程线的间隔ξ，不管其指向如何，也应以同样的84分周期作简单周期运动:
(1.15)
图1.12
试验粒子A和B在贯穿地球的洞中上下运动，地球密度均匀。在半径r处，粒子受到的 Newton加速度为
于是每个粒子按简谐运动振荡着，其角频率与通过图轨道绕地球模型运动的卫星严格相同:
对于在近似的惯性系中缓慢运动的粒子，将其实际的运动与短程线偏差方程(1.13)式相比较，可以得出在此模型地球内部的一些曲率分量(地球内部的Riemann 张量)
(1.16)
这个例子说明空时曲率是如何与物质分布相联系的。
设有一来自超新星的引力波通过地球。理想化地认为地球物质几乎不可压缩，即其密度实际上保持不变。波可用空时曲率上的波纹以及以光速传播来表征。该波纹通过Riemann张量的分量Rj0k0以及两试验粒子的相对加速度显示出来。(1.16)式的左侧是波纹，而右侧不是。故(1.16)式失效。Riemann曲率不再直接地、单一地由地球物质产生。引力波对Riemann 张量的效应。
虽然如此， Einstein告诉我们，(1.16)式的一部份，即它的迹
(1.17)
(1.17)不受波的扰乱。甚至在地球外的真空中上式也成立；因在真空中上式等号两侧均为零［见(1.14)式］。
更普遍地说， Riemann 张量的一个确定部分，称为Einstein张量，表为Einstein 或G，它永远由物质的局域分布产生。Einstein是把(1.17)式左侧的加以普遍化而得到的一个几何客体。与一样，Einstein是
Newton， Woolsthorpe Kensington，1726年3月20日「几何学是依据直线和图建立起来的，而对它们的描却属于力学。几何学并未告诉我们如何画这些线，但却需要昼出这些线」 Newton原理」第一版(1687)序言「绝对空间，按其自身的性质，永远保持同一和静止，与任何外界事物无关」
「绝对的真实的和数学的时间，就其自身和按其自身的性质而言，平稳地流动着，与任何外界事物无关」
引自「原理」的附注「我未能从现象中现引力这些性质的起因，我也没有杜撰假说；凡是并不从现象中引出的结论可称假说；而假说…在经验哲学中是没有地位的……对于我们来说，引力是确实存在的，它按照我们已经说明过的规律起作用，并完全适用于计算天体和海洋的各种运动，就足够了引自厂原理1713年第二版第三册末尾加的一般附注·此引文特别有名，常以 Newton原用的拉丁交形式Hypotheses non Fingo”被引用
「在这同一年(1665或1666年)，我开始想到引力可以延伸到月亮轨道上，并且发现了…这一切都是在灾疫流行的1665和1666两年中，因为在这些日子，我正处于发明创造的最好年，并且比此后任何时候都更心数学和哲学
引自 Newton Newton在微分，二项式定理光学NewtonPortsmouth)文集中发现的这是1887年 Adams在动力学以及引力等等方面的发现。信于1714年左右
Riemann在所有方向的某种平均。(1.16)式右侧的普遍化，即产生Einstein的几何客称为物质的「应力-能量张量(应力-能量张量)」，表为T 。不需用坐标来定义Riemann或T；与 Riemann张量Riemann以及度规张量g一样，它们在完全没有坐标时就存在。而且，实际上除因子8\pi 外，Einstein 与T永远相等：
(1.18)
「假说应当…解释事物的性质，而不能试图预先确定事物的性质，除非就此而言假说能对实验有所帮助。」
引 Newton致 Pardies的信，1672。引自 Cajori在 Newton(1687年)书中末尾第673页注释
「我认为，没有任何其他事物作媒介，一个物体可以超距地越过真空作用于另一物体，且不凭借和通过它，可以将作用和力从一物体传递到另一物体的看法是极为荒谬，我相信不会有任何在哲学问题上具有足够思考能力的人会沉迷其中。」
这一段话常被 Faraday引用，他取自 Newton致 Bently的信(1692-1693)转引自 Newton (1687)书Cajori版第643页的注释。
「重力，磁和电的引力能达到易于察觉的距离，由此它们已被观测到…；可能有其它的力，它们只能到达很近的距离，以至迄今尚未被测到；……有些力，在直接接触时非常强，能在很短的距离上进行上述化学反应，但对离粒子校远的地方，这些力就不能产生任何可以察觉的效。」
引自Newton光(1730年)末尾的简题31
「在几乎空无一物的地方有什么呢？由于什么原因太阳和行星彼此互相吸引，而其间并没有稠密的物质？为什么自然界不作徒劳无功的事，我们在世界上所见到的这一切次序和美丽又来自何方呢？什么是彗星的结局呢，为什么各行星总是以一种同样的方式在各同心图轨道上运动，而彗星却能以各种可能的方式在非图的轨道上运动呢？是什么阻止了固定的恒星掉到其它恒星上去呢？J
引自问题28
「他不是永生的或无所不在的，但却是不朽的、无限的；他并非时间或空间，但他能持续和呈现。他永远持，他到处呈现；他无时无处不存在，他样成了时间和空间……因而上帝极有关系；从事物的外表来论述他，必定属于自然哲学。
引自原理(1687)末尾的一般附注
Einstein场方程物质怎样产生曲率
Einstein场方程 可用它在任意坐标系中的分量重写为:
(1.19)
Einstein场方程优雅而丰实，它是如此简单，而又蕴藏着大量应用硕果的宝库，物理学的方程无出其右者。
场方程表明物质的胁强-能量(应力-能量)怎样在其邻域中产生一个平均曲率(Einstein ≡G)。同时，对于曲率的保持各向异性部份，场方程是一个传播方程:它控制着静止源(地球)的外部空时曲率；它通过运动着的胁强-能量(应力-能量)控制着引力波的产生(空时曲率中的波纹)；并且，它还控制着这些波在宇宙中的传播。甚至，对于由胁强-能量(应力-能量)产生曲率的物质而言，场方程自身就包含着运动方程(「力＝质量×加速度」)。
这些就是G＝8\pi T的一些结果。现在来看它的一些应用。
场方程控制着太阳系中行星的运动；它控制着太阳近旁的光偏折；它控制着恒星坍缩并形成黑洞；它唯一地决定了黑洞的外部空时几何(「黑洞是没有毛的」)；它控制着在坍缩终点空时奇点的演化；它控制着宇宙的膨胀和再收缩。以及其他许多的应用。
为了理解这个简单的方程G＝8\pi T怎么样有如此无所不在的威力，需要回过头去，花几章的篇幅重新勾画关于空时，它的曲率，以及它的规律的整个书卷，那时应更加小心，更为详尽，用更多的数学。
在此，我们结束关于几何对物质的效应以及物质对几何反作用的概述，图满的结束了苹果的比喻。
「真正使我感兴趣的是，上帝创造世界时是否有任何选择。」
Einstein对助手的谈话，G.Holton引述(1971)，第20页。
「但是，在黑暗中焦急的探索者的这些岁月里，人们满怀希望，时而信心十足，时而筋疲力尽，最后，光明终于出现——只有那些亲身经历的人才能理解这一切。」
Einstein，M.Klein 引述(1971)，第1315页。
「对于所有我们可以加入的团体，没有一个我愿意把自己呈现给它的，只有真正探索者的团体除外，而探索者的团体在任何时候都只有极少数活着的成员。」
Einstein致Born信 引述(1971)，第82页。
「我正在研究你的伟大著作，并且——当我在不论何处被难住时——我就会快活的看到你友好而年轻的面容出现在我面前，微笑着作出解释。」
Einstein，1920年5月2日会见N.Bohr后的信。
「当数学定律涉及实际事物时，它们是不确定的，而当它们是确定的时候，则并不涉及实际事物。」
Einstein(1921)第28页。
「对于世界，最不可理解的事情就是：它是可以理解的。」
Einstein，在Schilpp(1949)中，第112页。
练习1.1图柱的曲率
试证明图柱体表面上各短程线(不缠绕！)无短程线偏差，并由此证明图柱体表面的Guass曲率R为零。再利用公式R=1/ρ_1ρ_2 独立地证明上述结论，式中ρ_1和ρ_2 是题中相对于图柱所在的三维 Euclid空间的主曲率半径。
练习1.2春潮与小潮
试用约定单位以及几何单位计算(1)月亮(m_{约定}＝7.35×10^{25}克，r＝3.84×10^{10}厘米)和(2)太阳(m_{约定}＝1.989×10^{33}克，r＝1.496×10^{13}厘米)在地球上所产生的 Newton潮汐加速度{R^m}_{0n0}(m，n＝1,2,3)之大小。估计对春潮所得之结果应超过小潮多少倍。
练习1.3被包围在里面的Kepler
一小卫星绕质量为m(厘米)之中心物体，在半径为r的轨道上，以图频率w(厘米^{-1})运动。试证明，由已知的ω值，不可能单独确定r或m的值，而只能得到物体的有效＂Kepler密度”，即以轨道半径为半径的球体平均密度。给出以Kepler密度表示的ω^2的公式。
Kepler 与Galileo(框1.9)之间的书信往来使我们想到历史的连续性， Galileo 逝世的那一年正好Newton(框1.0)诞生。 Newton之后，首先戏剧性地重新综合引力定律的是Einstein(框1.11)。
死者生前没有吐露的事情，在他们死后会告诉你；死者用火的舌头讲话，与生者的语言全然不同。T.S.Eliot，「轻度眩量」(1942年)
我曾量度过天穹，
现在，我量度幽冥，
天上有我的灵魂，
地上是我的躯体。
Johannes Kepler，1630年11月15日他用拉丁文为自己写的墓志铭，由 Coleman译成英文(1967)第109页。
那里有物质，那里就有几何。
Ubi materia， ibi geometria。
Kepler
第二章-第二十二章 在网盘
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