最近没什么好玩的东西可以写，就写写基本的数学原理吧。

数学中有两个最为常用的超越数，一个是圆周率π,一个就是e。

π只要上过学的都知道，是圆的周长和直径的比值。因为自然界充满了圆形图案，所以π的发现是自然的。

而e的发现就不那么简单，因为这个极具魔力的数字隐藏地非常巧妙，每次想想这个证明，都会觉得匪夷所思。也只有欧拉一样的天才才能有如此慧眼，不得不让人感叹天才真是不合逻辑的存在。


我们来看看这个证明吧。


e的定义是数列极限Limit[(1+1/x)^x,x->Infinity]的值。

1+1/x是减函数，而指数是增函数，因此合成函数可能是增，也可能是减，而无数种组合中，只有在这个表达式附近，极限才是收敛的。


我们现在看看f(x)=(1+1/x)^x这个表达式。

我们把他看成是[(1+1/x)^x]*1,根据数学中非常著名的均值不等式，几何平均值小于算术平均值

即a1a2a3...an <=[(a1+a2+...an)/n]^n，

我们可以得到[(1+1/x)^x]*1 <= [((1+1/x)*x+1)/(x+1)]^(x+1) == (1+1/(x+1))^(x+1)

即f(x)<=f(x+1)，因为均值不等式只有在所有项都相等的时候等号才成立，而1+1/x是要大于1的，因此

f(x)


我们再来看另外一个表达式g(x)=(1+1/x)^(x+1)

1/g(x)=(x/(x+1))^(x+1)，同样把它表示成

[(x/(x+1))^(x+1)]*1，同样根据平均值不等式可以得到1/g(x)<=[(x+1)/(x+2)]^(x+2)==1/g(x+1)

因此得到g(x)是单调递减的。


而g(x)=f(x)*(1+1/x)，因此可以得到g(x)大于f(x)。

根据单调性，我们可以知道f(x) 取最小值1就是这两个数列的下界，而g(x)取x=1就是这两个数列的上界。

因此2<=f(x)

因为(1+1/x)是趋近于1的，因此g(x)和f(x)在无穷大处的极限应该是相等的。

这两个函数都是单调且有界的，而且极限都相等，因此得到这两个数列收敛于同一个值,这个值就被定义为e。


我们回过头来看这个证明非常简单，但是整个过程充满了不可思议的巧合。

但是仅仅有这些巧合，仅仅能称得上神奇，并无多大作用。


但是e不同，这个数字揭示了指数函数的奥秘。exp(x)是唯一一个导函数等于自身的函数，并且所有指数函数的微分都可以表示成指数底自然对数和自身函数相乘的形式。


这个性质拥有无数的推广。比如指数分布的无记忆性和这个性质有关，高斯分布也含有这个数字。

排列组合斯特林公式的极限包含这个数字。

把exp(x)用taylor级数展开，带提成sin的组合cos可以得到e^(πi)+1=0,就是最为传奇的欧拉公式。

因此，在复平面里面就可以把一个复数表示成e为底的幂指数形式。


不仅如此，这个数字还揭示了乘法和加法之间的某种联系，关于质数性质的深层本质。


这会是巧合么？