作者：李睿琪、张江、董磊
本文章是由我与我的学生李睿琪，以及集智科学家董磊合作产出，集智俱乐部自成立以来一直致力于跨学科交流，已经和其早期成员在顶尖期刊发表过多篇论文。
复杂的城市，简单的规则
当我们坐在飞机的轩窗边上俯瞰夜晚的城市，就会发现它仿佛一个庞大有机体：公路就像血管；川流不息的汽车就仿佛血液；人头攒动的市中心就仿佛它的心脏。我们仿佛可以感受到她的呼吸……
在中国，最早的“城市”恐怕可以追溯到公元前一千多年的西周时代，而 “城市”这个词却要等到战国时期才在典籍中出现[1]：《韩非子·爱臣》有言“大臣之禄虽大，不得藉威城市”。
在西方，最早的“城市”出现于公元前3000年的苏美尔地区，形成了一定的城市（城邦）文明；而到了中世纪的西欧尼德兰或低洼国家（包括现今的荷兰、比利时和卢森堡），城市经济与城市力量相较于传统庄园有了更多地发展，12世纪后这些市镇普遍地建立城垣并拥有司法自由；当时有不成文的规定，若一个穑夫逃出庄园在城市里居住一年或一百天（在低洼国家之内只要四十天）即可成为“市民”而享有“市民权”所对应的特权 [2]。随着历史的演进，城市一词的内涵与外延也在发生着不断地变化，城市的防御功能逐渐弱化，而人与人的交互则越发突出，城市现在更多地被看作一种聚集经济、将人类活动凝聚在一起的“胶水” [3]，而且研究者也逐渐意识到城市并非静止的空间，而是一种动态的过程。
比较成规模地通过严格的实证手段研究城市恐怕要到20世纪80年代以后才出现。例如，从形态学上，人们发现了城市的分形特征，并提出了模拟城市分形生长过程的模型：Eden生长模型 [4]、DLA (Diffusion-Limited Agglomeration)模型 [5]以及关联渗流(correlated percolation)模型 [6]等。而在人口分布方面的实证研究则存在着长期的指数与幂律的争议[7] [8] [9]。
近年来，城市的实证研究则体现了两种趋势：跨城市和多变量的共同研究。人们通过观察一些总量，例如GDP、总收入、专利总数、石油总消耗、犯罪总数等来自不同领域的数据，从而跨城市地比较这些总量如何随城市人口规模的变大而变大。例如，随着城市人口(用P来表示)的增长，城市的区域GDP、工资总收入、 这些与人的交互相关的变量(用Y来表示)就会以超线性的方式增长（也就是 ，其中 ）；而对于一些基础设施(例如道路、光纤、下水管道的总长度、加油站的数量)来说，它们将会呈现亚线性的生长（也就是 ，其中 ）[10, 11]；这表明城市这样的聚集模式有其经济之处，城市越大，其对于基础设施的利用率更高，而且相应的人均产出和创新也更多。这些研究向我们指出，城市是一个多种因素、多种尺度的超级复杂的有机体。我们既利用她创造出了70%以上的财富，同时也为犯罪、疾病传播等问题提供了土壤。
那么上述各类纷繁复杂的城市现象背后，是否会有一些统一的规律在支配其演化增长呢？我们的答案是肯定的，而且这套规律背后的机制非常简单。我们不期待用一张餐巾纸写下城市的生长方程，但我们绝对可以用一页纸写下所有的规则：
1.空间吸引规则：城市中某一地点对新人（以二维平面上的节点为代表）的吸引力正比于其自然禀赋（以C来表示，这也是我们模型唯一的参数）与社会吸引（在模型中我们用当地的活跃人口密度来表示）之和（用数学表达就是 ，其中 是新人落在某一点的概率， 为该点的人口密度，C为一个常数）；
2.匹配生长规则：如果新加入系统的节点（代表活跃社区）离现有城市人口过远那么它就无法存活（见下图a）；
3.道路生长规则： 道路网络的密度由人口密度决定。最简单的路网构建原则就是依最简单的泰森多边形划分进行路网构建（如下图c）；
4.社会互动规则：人们的互动是沿着城市的界面——街道展开的，因此互动的密度等于人口密度和路网密度的乘积。同时我们假设这些活动创造了城市的经济价值和创新（见下图b）。
基于上述简单规则，我们就可以在计算机中模拟城市的生长。我们可以看到一个个点不断地打在屏幕上，它既在中心不断加密，又在缓慢地向外围扩张；与此同时，城市路网也在不断地生成；局域的社会交互创造了城市总体的财富。
从定量的角度来看，我们的模型既可以预测城市元素的空间分布，又可以预测跨城市各要素变量的生长规律。例如，模型预测城市中人口的分布在城市中心向外一定区域内呈现幂律，这在伦敦和北京这两个城市得到了精准的验证（见下图bc）。不过应当注意的是，这一人口密度实则是城市中的活跃人口密度，它不同于我们常用的工作人口密度或居住人口密度，而是这二者的加权平均。依简单的方式计算，这一权重比例匹配了生活时间与工作时间的比例。这一概念也让我们得以直接通过交互来对于城市进行建模。近年来随着手机数据越来越丰富，我们可以根据这类数据更为精准地估计各个区域的活跃人口 [13]。
其次，模型给出的活跃人口密度分布可以用唯一的指数 来刻画（见下图bc），它可以被用来衡量城市的形态和发展模式，而且从中我们也可以大致窥见到中国城市与西方城市(尤其是美国)的不同。美国的城市大多会有一个相对明确的面积很小但密度很高的市中心（Downtown area），以及所辐射的面积广大的郊区（suburb area），在这种形式下人类活动的密度下降是更为迅速的(对应更大的 值)；但这样的城市形态在中国却并不完全成立，中国的大城市从某种意义上几乎处处都可以被称作市中心，城市的发展模式更像是均匀扩张；例如包括伦敦在内的许多西方城市的 为0.3左右甚至更大，而北京的 只有0.1左右（见下图c）。
另外基于这样的活跃人口，我们还可以根据模型的推导结论去预测千米级甚至更精细空间尺度下的社会经济活动强度，而下图就是模型推导结果与伦敦市的实证夜光数据的比较。
而且我们的模型发现城市中主要元素（活跃人口、道路、社会经济活动）的空间分布存在着内在联系。根据任意一种类型的数据我们就可对其他城市元素的分布进行推断（见下图）。例如，我们只要根据地图推断出街道的空间分布，就能够由此推断出人口和经济社会活动的空间分布情况。
最后，我们的模型还可以对于跨城市的宏观规律进行解释，模型完美地预测了包括GDP、人口、城市面积、道路总长度等指标随城市规模生长的幂律方程 [10, 11]。
简言之，我们的这一简单模型可以重现出城市的生长规律，并且揭示城市元素间的空间分布关系，同时能够为城市宏观标度率的产生提供有效的解释。而且我们的模型直接从增长与交互的角度进行建模，相较于用居住人口建模更能抓住城市的特征与本质，同时所用解析方法也不再是城市研究领域过去常用的全局平均场假设 [11, 14]。
更有趣的是，这种简单的模型可以让我们很方便地对一些复杂情况下的城市生长进行建模。例如，下图展示了我们模拟两个城市在生长过程中融合到一起时的情况。可以发现在两城融合之初，活跃人口密度的分布是略为偏离我们的理论预测的，但随着城市规模的继续增长，最终的统计规律仍然会与单中心生长出的城市比较相近；而这也是许多大城市在城市化过程中将周边小城镇所兼并后所经历的过程。
我们的模型还可以模拟一些特殊形态的城市，例如下图中的城市有多个初始节点（这比较像是多个距离较远的城镇最终融合为一个大城市的情况），我们通过模拟初始节点间不同的距离可以发现随着初始距离的增加，在演化时间一定的情况下，活跃人口密度分布会更加平缓。这一过程实则与美国湾区附近的多城市演化有一定相似之处，根据我们的模型推断，未来湾区人口如果能够保持继续的增长，那么其人口分布会逐渐趋近于我们在前面所介绍的分布形式。
让我们的脑洞再开大一些，假设未来人类城市会从2D走向3D世界。那么，我们的模型将有可能率先带我们窥探三维城市的壮观之处……
这一工作近期发表在Nature Commnications上，论文信息为：
Li, R., Dong, L., Zhang, J., Wang, X., Wang, W. X., & Di, Z & Stanley, H. E. (2017). Simple spatial scaling rules behind complex cities. Nature Communications, 8(1), 1841.
下载地址：https://www.nature.com/articles/s41467-017-01882-w。
参考文献：
[1] 张复合. 中国近代研究与保护[M]. 清华大学出版社有限公司, 2006.
[2] 黄仁宇. 放宽历史的视界[M]. 生活.读书.新知三联书店, 2007.
[3] Scott, A.J. and Storper, M., 2015. The nature of cities: the scope and limits of urban theory. International Journal of Urban and Regional Research, 39(1), p.1-15.
Excerpt: “The basic glue that holds the city together as a complex congeries of human activities”、“combines two main processes, namely, the dynamics of agglomeration/polarization, and the unfolding of an associated nexus of locations, land uses and human interactions”
[4] Eden, Murray. "A two-dimensional growth process". Proceedings of Fourth Berkeley Symposium on Mathematics, Statistics, and Probability. 4. Berkeley: University of California Press. p. 223–239 (1961).
[5] Witten, T. A., Sander, L. M. "Diffusion-Limited Aggregation, a Kinetic Critical Phenomenon". Physical Review Letters. 47 (19): 1400–1403 (1981).
[6] Makse, H. A., Havlin, S. & Stanley, H. E. Modeling urban growth. Nature 377, 19 (1995).
[7] Clark, C. Urban population densities. J. R. Stat. Soc. Ser. A 114, 490–496 (1951).
[8] Smeed, R. J. The Traffic Problem in Towns (Manchester Statistical Society, 1961).
[9] Batty, M. & Kim, K. S. Form follows function: reformulating urban population density functions. Urban Stud. 29, 1043–1069 (1992).
[10] Bettencourt, L. M. A. The origins of scaling in cities. Science 340, 1438–1441 (2013).
[11] Bettencourt, L. M. A., Lobo, J., Helbing, D., Kühnert, C. & West, G. B. Growth, innovation, scaling, and the pace of life in cities. Proc. Natl Acad. Sci. USA 104, 7301–7306 (2007).
[12] Gomez-Lievano, A., Patterson-Lomba, O. & Hausmann, R. Explaining the prevalence, scaling and variance of urban phenomena. Nat. Hum. Behav. 1, 0012 (2016).
[13] Xu, Y., Li, R., et al. Clearer skies in Beijing–revealing the impacts of traffic on the modeling of air quality. TRB (96th) No. 17-05211 (2017).
[14] Louf, R. & Barthelemy, M. Modeling the polycentric transition of cities. Phys. Rev. Lett. 111, 198702 (2013).
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