逻辑回归的定义
简单来说， 逻辑回归（Logistic Regression）是一种用于解决二分类（0 or 1）问题的机器学习方法，用于估计某种事物的可能性。比如某用户购买某商品的可能性，某病人患有某种疾病的可能性，以及某广告被用户点击的可能性等。 注意，这里用的是“可能性”，而非数学上的“概率”，logisitc回归的结果并非数学定义中的概率值，不可以直接当做概率值来用。该结果往往用于和其他特征值加权求和，而非直接相乘。
那么逻辑回归与线性回归是什么关系呢？
逻辑回归（Logistic Regression）与线性回归（Linear Regression）都是一种广义线性模型（generalized linear model）。逻辑回归假设因变量 y 服从伯努利分布，而线性回归假设因变量 y 服从高斯分布。 因此与线性回归有很多相同之处，去除Sigmoid映射函数的话，逻辑回归算法就是一个线性回归。可以说，逻辑回归是以线性回归为理论支持的，但是逻辑回归通过Sigmoid函数引入了非线性因素，因此可以轻松处理0/1分类问题。
假设函数（Hypothesis function）
首先我们要先介绍一下Sigmoid函数，也称为逻辑函数（Logistic function）：
其函数曲线如下：
从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0, 1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0或者1。它的这个特性对于解决二分类问题十分重要
逻辑回归的假设函数形式如下：
所以：
其中x是我们的输入，theta为我们要求取的参数。
一个机器学习的模型，实际上是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然，我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是：
这个函数的意思就是在给定x, theta的条件下y=1的概率。
这里 g(h)就是我们上面提到的sigmoid函数，与之相对应的决策函数为：
选择0.5作为阈值是一个一般的做法，实际应用时特定的情况可以选择不同阈值，如果对正例的判别准确性要求高，可以选择阈值大一些，对正例的召回要求高，则可以选择阈值小一些。
决策边界（Decision Boundary）
决策边界，也称为决策面，是用于在N维空间，将不同类别样本分开的平面或曲面。
注意：决策边界是假设函数的属性，由参数决定，而不是由数据集的特征决定。
这里我们引用Andrew Ng 课程上的两张图来解释这个问题：
- 线性决策边界
- 非线性决策边界
这里决策边界为:
上面两张图很清晰的解释了什么是决策边界，决策边界其实就是一个方程，在逻辑回归中，决策边界由
定义。
这里我们要注意理解一下假设函数和决策边界函数的区别与联系。决策边界是假设函数的属性，由假设函数的参数 theta 决定。
在逻辑回归中，假设函数 h=g(z) 用于计算样本属于某类别的可能性；
决策函数
用于计算（给出）样本的类别；
决策边界是一个方程，用于标识出分类函数（模型）的分类边界。
代价函数（Cost Function）
什么是代价函数？
假设有训练样本 (x,y) 模型为 h , 参数为 theta 。
其中， theta^T 表示 theta 的转置。
- 概况来讲，任何能够衡量模型预测出来的值 h(theta)与真实值 y 之间的差异的函数都可以叫做代价函数:
如果有多个样本，则可以将所有代价函数的取值求均值，记做:因此很容易就可以得出以下关于代价函数的性质：
- 选择代价函数时，最好挑选对参数 theta 可微的函数（全微分存在，偏导数一定存在)
- 对于每种算法来说，代价函数不是唯一的；
- 代价函数是参数 theta 的函数；
- 总的代价函数
可以用来评价模型的好坏，代价函数越小说明模型和参数越符合训练样本 (x,y)； - J(\theta)是一个标量；
- 当我们确定了模型 h，后面做的所有事情就是训练模型的参数 theta。那么什么时候模型的训练才能结束呢？这时候也涉及到代价函数，由于代价函数是用来衡量模型好坏的，我们的目标当然是得到最好的模型（也就是最符合训练样本的模型）。因此训练参数的过程就是不断改变 theta，从而得到更小的 J(theta)的过程。理想情况下，当我们取到代价函数 J 的最小值时，就得到了最优的参数 theta，记为：
-
例如，
，表示我们的模型完美的拟合了观察的数据，没有任何误差。
- 在优化参数θ的过程中，最常用的方法是梯度下降，这里的梯度就是代价函数 J(theta)对
的偏导数。由于需要求偏导，我们可以得到另一个关于代价函数的性质：
- 选择代价函数时，最好挑选对参数 theta 可微的函数（全微分存在，偏导数一定存在）
代价函数的常见形式
经过上面的描述，一个好的代价函数需要满足两个最基本的要求：能够评价模型的准确性，对参数 theta 可微。
- 在线性回归中，最常用的是均方误差(Mean squared error)，即:
- m：训练样本的个数；
- h_\theta(x)：用参数 *theta和 x 预测出来的 y 值；
- y ：原训练样本中的 y 值，也就是标准答案;
- 上角标 (i) ：第 i 个样本。
- 在逻辑回归中，最常用的是代价函数是交叉熵(Cross Entropy)，交叉熵是一个常见的代价函数，在神经网络中也会用到。下面是《神经网络与深度学习》一书对交叉熵的解释：
交叉熵是对「出乎意料」（译者注：原文使用suprise）的度量。神经元的目标是去计算函数 x→y=y(x)。但是我们让它取而代之计算函数 x→a=a(x) 。假设我们把 a 当作 y 等于1的概率，1−a是 y 等于0的概率。那么，交叉熵衡量的是我们在知道 y 的真实值时的平均「出乎意料」程度。当输出是我们期望的值，我们的「出乎意料」程度比较低；当输出不是我们期望的，我们的「出乎意料」程度就比较高。
在1948年，克劳德·艾尔伍德·香农将热力学的熵，引入到信息论，因此它又被称为香农熵(Shannon Entropy)，它是香农信息量(Shannon Information Content, SIC)的期望。香农信息量用来度量不确定性的大小：一个事件的香农信息量等于0，表示该事件的发生不会给我们提供任何新的信息，例如确定性的事件，发生的概率是1，发生了也不会引起任何惊讶；当不可能事件发生时，香农信息量为无穷大，这表示给我们提供了无穷多的新信息，并且使我们无限的惊讶。更多解释可以看这里。符号说明同上.
但是我们会疑问，为什么这么定义代价函数呢？下面我会简单的解释一下：
对于单个的样本来讲， J(theta)所对应的 C(\theta)为：
上面的方程等价于：
当 y=1 时：
其函数图像为：
从图中可以看出， y=1 ，当预测值
同理，我们也可以画出当 y=0时， 函数 C(theta)的图像：
代价函数与参数
代价函数衡量的是模型预测值h(θ) 与标准答案y之间的差异，所以总的代价函数J是h(θ)和y的函数，即，J=f(h(θ), y)。又因为y都是训练样本中给定的，h(θ)有θ决定，所以，最终还是模型参数θ的改变导致了J的改变。对于不同的θ，对应不同的预测值h(θ)，也就对应着不同的代价函数J的取值。变化过程为：
为了更直观的看到参数对代价函数的影响，举个简单的例子：
有训练样本{(0, 0), (1, 1), (2, 2), (4, 4)}，即4对训练样本，每个样本中第1个是x的值，第2个是y的值。这几个点很明显都是y=x这条直线上的点。如下图：
import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T # 都转换成列向量
y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T
theta1 = np.array([[0, 0]]).T # 三个不同的theta_1值
theta2 = np.array([[0, 0.5]]).T
theta3 = np.array([[0, 1]]).T
X_size = X.shape
X_0 = np.ones((X_size[0],1)) # 添加x_0
X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1)
h1 = np.dot(X_with_x0, theta1)
h2 = np.dot(X_with_x0, theta2)
h3 = np.dot(X_with_x0, theta3)
plt.plot(X, y, 'rx', label='y')
plt.plot(X, h1, 'b', label='h1, theta_1=0')
plt.plot(X, h2, 'm', label='h2, theta_1=0.5')
plt.plot(X, h3, 'g', label='h3, theta_1=1')
plt.xlabel('X')
plt.ylabel('y/h')
plt.axis([-0.1, 4.5, -0.1, 4.5])
plt.legend(loc='upper left')
plt.savefig('liner_gression_error.png', dpi=200)
常数项为0，所以可以取θ0=0，然后取不同的θ1，可以得到不同的拟合直线。当θ1=0时，拟合的直线是y=0，即蓝色线段，此时距离样本点最远，代价函数的值（误差）也最大；当θ1=1时，拟合的直线是y=x，即绿色线段，此时拟合的直线经过每一个样本点，代价函数的值为0。
通过下图可以查看随着θ1的变化，J(θ)的变化情况：
# 计算代价函数的值
def calcu_cost(theta, X, y):
m = X.shape[0] # sample size
X_0 = np.ones((m,1))
X_with_x0 = np.concatenate((X_0, X), axis=1)
h = np.dot(X_with_x0, theta)
return(np.dot((h-y).T, (h-y))/(2*m))
X = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T
y = np.array([[0, 1, 2, 4]]).T
theta_0 = np.zeros((101, 1))
theta_1 = np.array([np.linspace(-2, 4, 101)]).T
theta = np.concatenate((theta_0, theta_1), axis=1) # 101组不同的参数
J_list = []
for i in range(101):
current_theta = theta[i:i+1].T
cost = calcu_cost(current_theta, X, y)
J_list.append(cost[0,0])
plt.plot(theta_1, J_list)
plt.xlabel('theta_1')
plt.ylabel('J(theta)')
plt.savefig('cost_theta.png', dpi=200)
从图中可以很直观的看到θ对代价函数的影响，当θ1=1时，代价函数J(θ)取到最小值。因为线性回归模型的代价函数（均方误差）的性质非常好，因此也可以直接使用代数的方法，求J(θ)的一阶导数为0的点，就可以直接求出最优的θ值。
代价函数与梯度
梯度下降中的梯度指的是代价函数对各个参数的偏导数，偏导数的方向决定了在学习过程中参数下降的方向，学习率（通常用α表示）决定了每步变化的步长，有了导数和学习率就可以使用梯度下降算法（Gradient Descent Algorithm）更新参数了, 即求解使 J(\theta) :
到
推导如下：
Reference:
[机器学习] Coursera ML笔记 - 逻辑回归（Logistic Regression）
sigmoid函数详解mmmmmm新浪博客
逻辑斯谛回归之决策边界 logistic regression -- decision boundary
【机器学习】代价函数（cost function）