等边三角形及其n个内嵌圆形的面积比的极限

题目

这是《Calculus with Analytic Geometry》第13章第2节的一道习题，原题如下：

Consider a suitable number of circles of equal size packed in n rows inside an equilateral triangle, as shown in Fig. 13.3. If cu denotes the number of these circles, then it is clear from the geometry of the situation that , and so on. If is the area of the triangle and is the combined area of the circles, show that

分析

为了求解和，我们必须知道三角形的边长和圆的半径。而且，为了消除面积比式中的未知数，我们需要推导出和之间的关系。

为了将复杂问题简单化，我们先分析当的情况。

当时

（等边三角形边长，等边三角形的高，圆形的半径）

由上图可知，等边三角形被划分为个全等的直角三角形，且另两个角分别是和。所以，我们很容易就发现：

• 等边三角形的面积
• 圆形的面积

当时

当时，等边三角形被划分成了更多的小图形，分别为个式的三角形，个式的三角形，个式的矩形。所以，我们推导出了新的面积公式：

• 
  并且可知：
• 矩形的宽
• 矩形的高

当时

我们发现，和图形的划分个数和形状是一样的，而且，当继续增大时，图形划分的个数仍然不变。当时，有：

• 矩形的宽
• 矩形的高

至此，我们发现了一个很有意思的结论：矩形的宽。

是多少？

由题图我们可以发现，第行的圆的个数总是比第行的圆的个数多一个。所以，是一个等比数列构成的级数，可以由等差数列的前项和公式求出
。

解答

设等边三角形的边长为，圆的半径为。那么有：
(1) 个圆的面积
(2)等边三角形的面积，其中