一元函数微分学几何应用（一）-- 单调性与极值

单调性与极值的判别

单调性的判别

• 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加
• 若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加

费马引理（极值点的必要条件）

• 一阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不一定是极值，如y=x³）
• 设f(x)在x=x₀处可导，且在点x₀处取得极值，则必有f'(x₀)=0

判别极值的第一充分条件（左右邻域一阶导异号）

• 极值点不一定是可导点
• 左邻域内，f'(x)<0，而右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x₀处取得极小值
• 左邻域内，f'(x)>0，而右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x₀处取得极大值
• 若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x₀不是极值点

判别极值的第二充分条件（一阶导数=0，二阶导数≠0）

• 设f(x)在x=x₀处二阶可导，且f'(x₀)=0，f''(x₀)≠0
• 若f''(x₀)<0，则f(x)在x₀处取得极大值
• 若f''(x₀)>0，则f(x)在x₀处取得极小值
• 可以用一阶导数定义和保号性证明

判别极值的第三充分条件（高阶导）

• f(x)在x₀处n阶可导，且 f^(m)(x₀)=0(m=1,2,...,n-1)，f⁽ⁿ⁾(x)≠0(n≥2)
• f'(x₀)=f''(x₀)=...=f^(n-1)(x₀)=0
  
• 若n为偶数且f⁽ⁿ⁾(x₀)<0时，f(x)在x₀处取得极大值
• 若n为偶数且f⁽ⁿ⁾(x₀)>0时，f(x)在x₀处取得极小值

拉格朗日中值定理推广（联系函数与导函数）

• f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)
• f(x) - f(x₀) = f'(ξ)(x - x₀)