机器学习的数学基础--微积分（2）--直角坐标系

坐标轴

在一个平面里，选择一对相互垂直的直线，其中一条直线是水平的，另一条则必然是垂直的。那么这两条相互垂直的直线就组成了直角坐标系：

• 水平的直线叫做x轴，垂直的直线叫做y轴。
• 两条直线的交叉点叫做原点(点O)。
• x轴的方向是从左到右，y轴的方向是从下到上。
• 与上一节“线坐标系”的定义类似，原点在x轴的坐标为0，在y轴的坐标也为0。
• x轴上原点右边的坐标是正数，原点左边的坐标是负数。
• x轴上坐标值从左到右由小到大。
• y轴上原点上方的坐标是正数，原点下方的坐标是负数。
• y轴上坐标值从下到上由小到大。

直角坐标系

象限

x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。象限以数轴为界，横轴、纵轴上的点及原点不在任何一个象限内。

象限

点的坐标

从直角坐标系所在平面上的任意一点，向x轴画垂线与x轴交点的x轴上坐标，即是该点的"x坐标"，向y轴画垂线与y轴交点的y轴上坐标，即是该点的"y坐标"。
一般以有序数对的方式表示点的x坐标和y坐标：(x,y)
例如，下图中P点的坐标(3,5)即P点的x坐标为3，y坐标为5。
原点的坐标永远为：(0,0)

以下是一些点的坐标：

直角坐标系上任意点到原点的距离公式

如下图所示，根据勾股定理，点P到原点的距离OP,可以表示成该点坐标的平方和：

代入本图数值，则为：

直角坐标系上任意两点之间距离公式

由下图可见，根据勾股定理，P₁P₂距离的平方等于P₁Q的距离的平方加上P₂Q的距离的平方，即：

因为：

则两点间距离公式为：

任意两点间距离

中点坐标公式

如下图，如果M(x,y)是两点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)所连接而得的线段的中点，则M的坐标由以下公式决定：

证明几何定理

许多几何定理可以在直角坐标系下用更简单的方法被证明。这种证明几何定理的方法叫做“解析几何”。

例题：

证明三角形两边中点的连线距离是第三边边长的一半。
解：按照以下方式在直角坐标系构造三角形并画出两边中点连线M₁M₂

根据中点公式，可得M₁坐标：(u/2, v/2)，M₂坐标：((u+b)/2,v/2)。则M₁M₂的距离为：

则证得结论。

习题

1， 找到坐标(6,y)里的y值，使得该点到(4,2)和(9,7)等距离。
2，用解析几何证明，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线长度等于斜边的一半（直角三角形斜边中线定理）。