决策树（三）：C4.5算法和CART算法

ID3选择属性的依据是信息增益：
![Information Gain][equtation]
[equtation]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?g_r(D,A)=H(D)-H(D|A)

ID3算法在选择根节点和内部节点中的分支属性时，采用信息增益作为评价标准。信息增益的缺点是倾向于选择取值较多的属性，在有些情况下这类属性可能不会提供太多有价值的信息。因此我们发展了C4.5乃至之后的C5.0算法。

C4.5算法

C4.5算法主要做出了以下方面的改进：

1.可以处理连续数值型属性

对于离散值，C4.5和ID3的处理方法相同，对于某个属性的值连续时，假设这这个节点上的数据集合样本为total，C4.5算法进行如下处理：

• 将样本数据该属性A上的具体数值按照升序排列，得到属性序列至{A1,A2,A3,...,Atotal}；

• 在上一步生成的序列值中生成total-1个分割点。第i个分割点的取值为Ai和Ai+1的均值，每个分割点都将属性序列划分为两个子集。

• 计算每个分割点的信息增益(Information Gain),得到total-1个信息增益。

• 对分裂点的信息增益进行修正：减去log2(N-1)/|D|，其中N为可能的分裂点个数，D为数据集合大小。

• 选择修正后的信息增益值最大的分类点作为该属性的最佳分类点。

• 计算最佳分裂点的信息增益率(Gain Ratio)作为该属性的Gain Ratio。

• 选择Gain Ratio最大的属性作为分类属性。
  ![Gain Ratio][equtation2]
  [equtation2]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?g_R(D,A)=\frac{g_r(D,A)}{H_A(D)}=\frac{H(D)-H(D|A)}{H_A(D)}

2.用信息增益率(Information Gain Ratio)来选择属性

克服了用信息增益来选择属性时偏向选择值多的属性的不足。
![Gain Ratio][equtation2]

3.后剪枝策略

决策树很容易产生过拟合，剪枝能够避免树高度无限制增长，避免过度拟合数据。在上一节内容中，我们通过限制决策树的最大深度，这本质是一种预剪枝。
后剪枝相对来说更难一些，是通过一个剪枝系数来实现的，这里暂不论述。

**4.缺失值处理 **

对于某些采样数据，可能会缺少属性值。在这种情况下，处理缺少属性值的通常做法是赋予该属性的常见值，或者属性均值。另外一种比较好的方法是为该属性的每个可能值赋予一个概率，即将该属性以概率形式赋值。例如给定Boolean属性B，已知采样数据有12个B=0和88个B=1实例，那么在赋值过程中，B属性的缺失值被赋值为B(0)=0.12、B(1)=0.88；所以属性B的缺失值以12%概率被分到False的分支，以88%概率被分到True的分支。这种处理的目的是计算信息增益，使得这种属性值缺失的样本也能处理。

5.C4.5的缺点

1. 算法低效，在构造树的过程中，需要对数据集进行多次的顺序扫描和排序，因而导致算法的低效
2. 内存受限，适合于能够驻留于内存的数据集，当训练集大得无法在内存容纳时程序无法运行。

C4.5的伪代码

Function C4.5(R:包含连续属性的无类别属性集合,C:类别属性,S:训练集)  
Begin  
   If S为空,返回一个值为Failure的单个节点;  
   If S是由相同类别属性值的记录组成,  
      返回一个带有该值的单个节点;  
   If R为空,则返回一个单节点,其值为在S的记录中找出的频率最高的类别属性值;  
   [注意未出现错误则意味着是不适合分类的记录]；  
  For 所有的属性R(Ri) Do  
        If 属性Ri为连续属性，则  
        Begin  
           sort(Ri属性值)
           将Ri的最小值赋给A1：  
             将Ri的最大值赋给Am；  
           For j From 1 To m-1 Do Aj=(A1+Aj+1)/2;  
           将Ri点的基于Aj(1<=j<=m-1划分的最大信息增益属性(Ri,S)赋给A；  
        End；  
  将R中属性之间具有最大信息增益的属性(D,S)赋给D;  
  将属性D的值赋给{dj/j=1,2...m}；  
  将分别由对应于D的值为dj的记录组成的S的子集赋给{sj/j=1,2...m};  
  返回一棵树，其根标记为D;树枝标记为d1,d2...dm;  
  再分别构造以下树:  
  C4.5(R-{D},C,S1),C4.5(R-{D},C,S2)...C4.5(R-{D},C,Sm);  
End C4.5

CART算法

CART算法的重要基础包含以下三个方面：

• 二分(Binary Split)：在每次判断过程中，都是对观察变量进行二分。
  CART算法采用一种二分递归分割的技术，算法总是将当前样本集分割为两个子样本集，使得生成的决策树的每个非叶结点都只有两个分枝。因此CART算法生成的决策树是结构简洁的二叉树。因此CART算法适用于样本特征的取值为是或非的场景，对于连续特征的处理则与C4.5算法相似。

• 单变量分割(Split Based on One Variable)：每次最优划分都是针对单个变量。

• 剪枝策略：CART算法的关键点，也是整个Tree-Based算法的关键步骤。
  剪枝过程特别重要，所以在最优决策树生成过程中占有重要地位。有研究表明，剪枝过程的重要性要比树生成过程更为重要，对于不同的划分标准生成的最大树(Maximum Tree)，在剪枝之后都能够保留最重要的属性划分，差别不大。反而是剪枝方法对于最优树的生成更为关键。

CART的基础是基尼系数（gini，并非经济学中的基尼系数）：
![观察第一个等式，对比信息熵公式，我们把log(1/p_k)换成了（1-p_k）可以认为对log(1/p_k)在x_0=1处的泰勒展开，只取前两项后的结果。这种处理实际上减轻了运算压力。][equtation3]
[equtation3]: http://latex.codecogs.com/svg.latex?Gini(p)=\sum_{k=1}^{{K}p_k(1-p_k)=1-\sum_{k=1}}{K}p_k^{2=1-\sum_{k=1}}{K}(\frac{\left|C_k\right|}{D})^2

GINI指数主要是度量数据划分或训练数据集D的不纯度为主。GINI值越小，表明样本的纯净度越高（即该样本只属于同一类的概率越高）。
衡量出数据集某个特征所有取值的Gini指数后，就可以得到该特征的Gini Split info，也就是GiniGain。

Gini Gain

不考虑剪枝情况下，分类决策树递归创建过程中就是每次选择GiniGain最小的节点做分叉点，直至子数据集都属于同一类或者所有特征用光。

CART的核心在于剪枝，我们日后再讨论这个问题。在最后一节，我们将会介绍随机森林的概念和简单的实践。