2016-2017 ACM-ICPC Asia-Bangkok Regional Contest

2016-2017 ACM-ICPC Asia-Bangkok Regional Contest

A. WSI Extreme

upsolved by F0_0H

题意 \(n\)个人排队上\(m\)个厕所，每个人尿尿时间为\(a[i]\), 要求输出最少的每个人上完厕所时间和，支持修改一个人尿尿时间

题解

• 贪心，所有人尿尿时间从大到小排序，依次轮流上\(m\)厕所，即第\(i\)个人去编号为\((i-1)/m)\)的厕所，排在第\((i-m)\)个人后面
• 维护修改
  （1）当\(m\)比较大时，权值线段树维护区间和以及区间点个数，暴力查询答案
  （2）当\(m\)比较小时，对于序列每个点按照标号对m取余分类，权值线段树分别维护每个剩余系的答案，按照等差数列加权求和

理论时间复杂度\(（q*\sqrt m*log n ）\),空间复杂度\(（n*\sqrt m）\)

但由于空间开不了，以上谈的都是狗屁，数据比较水，咋都能过

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B. Average

solved by F0_0H 46min start, 76minAC

题意 问存在多少长度为\(n\)的序列\(a[1], a[2]..a[n] (a[i]\leq m,1\leq i\leq n] )\)，满足序列平均值在序列中出现过，并且出现几次算几次

题解

• \(f[i][j]\)表示长度为\(i\)的序列和为\(j\)的方案数，前缀和优化一下
• 统计答案：直接枚举平均数即可

考虑复杂版本：不重复计算

• 可以容斥搞一搞（比赛看错题导致的稍复杂解法）

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C. Big Bang

solved by sdcgvhgj 180min start, 197min AC, -1
题意 任意方向任意速度的粒子从源点射出，问N秒内有多少不同的粒子经过\(1≤x,y,z≤N\)的整点
做法

• 即问有多少个不同的四元组\((x,y,z,t)，1≤x,y,z,t≤N\)且两个四元组相等当且仅当\((\frac{x_1}{t_1},\frac{y_1}{t_1},\frac{z_1}{t_1})=(\frac{x_2}{t_2},\frac{y_2}{t_2},\frac{z_2}{t_2})\)
• 所以将\((x,y,z,t)\)唯一表示为\((\frac{x}{d},\frac{y}{d},\frac{z}{d},\frac{t}{d})\)
• 其中\(d=gcd(x,y,z,t)\)
• 于是变成了求\(\sum_{x=1}^{N}\sum_{y=1}^{N}\sum_{z=1}^{N}\sum_{t=1}^{N}[gcd(x,y,z,t)==1]\)
• 反一下就是\(\sum_{d=1}^{N}\mu(d)*\lfloor\frac{N}{d}\rfloor^4\)
• N=80000要用高精。

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D. Find C

solved by RDC 90min start, 299min AC, -9

题意 给出两个整点 A，B，求整点 C，满足三角形 ABC 区域中，除了 AB 线段与 C 点，没有整点，输出 \(k\) 个解。

做法

• 令 \(dx=A_x-B_x, dy=A_y-B_y\)，若 \(dx\) 小于 0，\(dx,dy\) 都取反。
• 特判掉 \(dx=0,abs(dx)=abs(dy)\) 的情况。
• 不妨设 \(dy>0\)。
• 将直线 AB 向下平移直到穿过整点，我们可以发现穿过的整点具有周期性的，横坐标的最小正周期为 \(\frac{dx}{gcd(dx,dy)}\)。
• 找到直线 AB 下方，任意一个距离 AB 最近的点即可，根据周期性可得到一个解系。
• 确定一个 \(t\) 极小化 \(t*\frac{dy}{dx}\) 小数部分(小数部分为 0 是 invalid)，因此有 \((t*dy)\%dx=1\)，$t $ 为 \(dy\) 关于 \(dx\) 的逆元。

夕阳红

• 快速幂写了只。
• 逆元不管是不是质数直接上费马小定理。
• 扩展欧几里得符号一片混乱。

• -8 / 3 = ?

E. ACM Tax

solved by F0_0H 150min start, 183min AC

题意 给定带边权的一棵树，每次询问数量两点路径边权的中位数

题解

• 1为根，按每个点到根路径信息建主席树
• 每次询问\(u，v\), 其路径信息主席树为，\(Tree_u + Tree_v - 2 * Tree_{lca(u, v)}\)

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F. Dictionary Game

solved by sdcgvhgj 150min AC
题意 两人博弈，轮流操作，每次选词典中某个字符串的某个前缀s，然后将词典中以s为前缀的字符串只保留前|s|-1个字符，不能操作则输，每次在词典中添加一个字符串并询问先手必胜还是必败。
做法

• 相当于字典树上每次选一个点把它和它的子树删除。
• 设\(sg_u\)为以u为根的子树的\(sg\)值，RDC盲猜\(sg_u=1+\bigoplus_{v}sg_v\)，AC。

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G. Binary Strings

solved by sdcgvhgj 73min start, 86min AC
题意 求多少种01串满足\(l≤len≤r\)且\(k|len\)且不能有相邻的1
做法

• 设\(f(n)\)为长度为n的没有相邻1的01串的数量，\(sum(n)=\sum_{i=1}^{n}[k|i]f(i)\)，有\(f(n)=f(n-1)+f(n-2)\)
• 设
  \[\left[ \begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix} \right]^k=\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix} \right],B=\left[ \begin{matrix}1&a&b\\0&a&b\\0&c&d\end{matrix} \right] \]
  有
  \[\left[ \begin{matrix}f(n+1)\\f(n)\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}f(n)\\f(n-1)\end{matrix} \right] \]
  \[\left[ \begin{matrix}f(n+k)\\f(n+k-1)\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}f(n)\\f(n-1)\end{matrix} \right] \]
  \[\left[ \begin{matrix}sum(n+k)\\f(n+k)\\f(n+k-1)\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}1&a&b\\0&a&b\\0&c&d\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}sum(n)\\f(n)\\f(n-1)\end{matrix} \right]\]
  \(把B矩阵求\lfloor\frac{r}{k}\rfloor次幂和\lfloor\frac{l-1}{k}\rfloor次幂得到sum(\lfloor\frac{r}{k}\rfloor*k)和sum(\lfloor\frac{l-1}{k}\rfloor*k)\)
• \(ans=sum(\lfloor\frac{r}{k}\rfloor*k)-sum(\lfloor\frac{l-1}{k}\rfloor*k)\)

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H. Witcher Potion

solved by RDC 200min start, 215min AC

题意 题意好长。

做法 施展 DP，\(dp[mask][E][P]\) 表示以还有 \(mask\) 的药没用，能量为 \(E\)，毒量为 \(P\)，最多打死多少只怪物，转移决策一下用哪瓶药，或者不用。

PS：读题优先级需要提高。

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I. Sky Tax

solved by RDC 34 min start, 46 min AC，-1

题意 给一棵树，两种操作，1. 换根。2. 查询子树大小。

做法 先以 1 号点为根，记录当前的"根" \(rt\)，查询 \(x\) 子树大小时，如果 \(rt\) 在 \(x\) 子树外，那么答案为 \(size(x)\)，否则答案为 \(n-size(x')\)，\(x'\) 为从 \(rt\) 一直往上走会遇到的 \(x\) 的儿子。

小品表演 vector 不清空，RE 了一发。

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K. Expected Number of Connected Components

题意 一个图有标号为 \(1\)~\(n\) 的 \(n\) 个点，两点之间 gcd 大于 1 则有边，第 \(i\) 个点有 \(p[i]\) 的概率存在，求连通块个数期望。

解体

• 两点有边等价于两质因子集合有交，有交的质因子集合可以 unite 在一起，我们可以按 unite 的结果，把极大连通块划分成很多个等价类。
• \(p(S)\) 表示存在极大连通块 unite 后得到集合 \(S\) 的概率，根据期望可加性，\(\sum P(S)\) 即为答案。
• 考虑 \(P(S)\) 计算，我们分类讨论。
• a) \(|S|=1\)，easy
• b) 定义 \(Pri = \{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,39,41,47\}\), \(S\) 是 \(Pri\) 的子集，hard
• 考虑 DP。\(f[T]\) 表示对 \(T\) 的每个子集进行正义之审判，最终苟住的集合，unite 起来，等于 \(T\) 的概率，\(S\) 集合中最小的质因子我们称之为"排骨龙"，一定属于某极大连通块，或者不存在，枚举排骨龙生活的环境，即可转移。
• 预处理优化后复杂度 \(O(3^{|Pri|})\)
• 一轮激烈地施展，于是解锁了 Bad End：TLE。
• 把 37,39,41,47 从 \(Pri\) 中开除掉，解锁了另一个 Bad End：WA.
• 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊。解体。

口胡 比赛时意识到了我们应该观察一个连通块的特征，然后计算有多大的概率出现这样的连通块，这个意识不错，但没有想“特征”是啥？

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L. Coordinates

solved by sdcgvhgj 8min start, 34min AC, -1
题意 给两点之间dx,dy，确定每个点
做法

• 每个联通块选个点标为(0,0)dfs一下然后调整一下坐标范围
• 开始按无向图跑也没调整坐标WA了一发