（4.7）James Stewart Calculus 5th Edition：Optimization Problems

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Optimization Problems 优化问题

解决最大值，最小值等一系列的问题，通常可以用下面几部步骤：

Steps in Solving Optimization Problems

• (1) Understand the Problem 理解问题
  • 理解题目意思。
  • 了解 什么不知道，要做什么。
  • 给了哪些值
  • 知道哪些条件
• (2) Draw a Diagram 画图像
  • 画出对应的图像
  • 标出 已经给了的值
• (3) Introduce Notation 符号介绍
  • 用一个符号表示要求的最大值 或者 最小值 （这里用Q表示）
  • 用一些符号表示位置的变量，或者标签。
  • 可以用首字母去表示
  • 例如： A表示 Area区域， h表示height高， t表示time时间
• (其他) 略

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例子

例子1

先理解，有已知条件 2400ft
求 面积 A

根据下图，可以得到大体表达式：
已知 2x + y = 2400
求 A = xy = ？ 的最大值

为了用一个变量表示， 我们可以得到 y = 2400 - 2x
带入 xy中得：

（注意： 这里 x>0, x<1200）

我们求导，可得：

由

我们可以得到 临界点 x = 600
并且对应的 A'(x)的符号是变化的

我们求对应的 A''(x) 的值， 可以得到：
A''(x) = -4 < 0
我们知道是 凹向下， 有最大值

所以，
最大值为 A(600) = 720000

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First Derivative Test for Absolute Extreme Values 一阶求导的最值验证

其实， 这个之前已经证明过， 只是在具体问题上，做下验证

例子：

找出抛物线 y^2 = 2x 上，离 P(1， 4)最近的点是哪个点？
我们设求 的这个点为 Q(x，y)
则，对应的距离为：

我们通过抛物线 y^2 = 2x， 可得， x = y^2/2
带入消元，得：

其实，距离平方时最小，距离也就最小，有

这个时候，我们求导，可以得到：

我们可以简单得到，当y=2的时候， f'(y) = 0
这个时候，我们看一下 y<2 ， y>2 的时候，

f'(y) 的值 分别为 f'(y) <0 , f'(y) >0
所以，我们根据上面的【 一阶求导的最值验证】
我们可以知道，y=2的时候， f(y) 有最小值
也就是， 这个时候 距离 d 是最小的
这样我们可以求出 x = 2^2/2 = 2
也就是 曲线上 点(2，2) 离 点(1，4)最近